6.3-等比数列及其前n项和练习题

§6.3等比数列及其前n项和一、选择题1.2＋1与2－1两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1D.12解析：设等比中项为x，则x2＝(2＋1)(2－1)＝1，即x＝±1.答案：C2．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()．A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XYD．Y(Y－X)＝X(Z－X)解析(特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.答案D3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()．A．2B．4C．8D．16解析由anan＋1＝a2nq＝16n＞0知q＞0，又an＋1an＋2anan＋1＝q2＝16n＋116n＝16，∴q＝4.答案B4．等比数列{an}中，a2＝3，a7·a10＝36，则a15＝()A．12B．－12C．6D．－6解析由等比数列的性质，有a2·a15＝a7·a10＝36，则a15＝36a2＝12，故选A.答案A5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值为()．A．4B．5C.45D.15解析∵a1＝S1＝15t－15，a2＝S2－S1＝45t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知45t2＝15t－15·4t，显然t≠0，所以t＝5.答案B6.已知na为等比数列，472aa，568aa，则110aa（）A．7B．5C．D．-7解析472aa，56474784,2aaaaaa答案D7．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝()．A.32B.32或23C.23D．以上都不对解析设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a＜c＜d＜b，则a·b＝c·d＝2，a＝12，故b＝4，根据等比数列的性质，得到：c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝92，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝92，则mn＝32或mn＝23.答案B二、填空题8．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．解析设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，t＋1，3t＋2}故q的最小值是33.答案339．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.解析由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以数列{an}的通项公式an＝4n－1.答案4n－110.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1=1，且对任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。解析由已知可得公比q=-2，则a1=1可得S5。答案1111．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.答案1612．已知数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.解析由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)得lgxn＋1－lgxn＝1，∴xn＋1xn＝10，∴数列{xn}是公比为10的等比数列，∴xn＋100＝xn·10100，∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100.答案100三、解答题13．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.解析(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.∴an＝1n＝，2n－2n(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝－4n1－4＝n－3.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋n－3＝22n＋1＋13.14．已知等比数列{an}中，a1＝13，公比q＝13.(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝1－an2；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．解析(1)证明因为an＝13×13n－1＝13n，Sn＝131－13n1－13＝1－13n2，所以Sn＝1－an2.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋2.所以{bn}的通项公式为bn＝－nn＋2.15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．解析(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12，∴{an－1}是等比数列．∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝12，∴c1＝－12，公比q＝12.又cn＝an－1，∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.16．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．解析(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2.所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1.(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝13.