2019新考研高数模拟试题(含标准答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________题号一总分得分一、解答题1．试决定22(3)ykx中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.解：224(3),12(1)ykxxykx令0y，解得x=±1，代入原曲线方程得y=4k，只要k≠0，可验证(1，4k)，(－1，4k)是曲线的拐点.18xky，那么拐点处的法线斜率等于18k，法线方程为18yxk.由于(1，4k)，(－1，4k)在此法线上，因此148kk,得22321,321kk(舍去)故12832k.2．求下列函数在0x处的左、右导数，从而证明函数在0x处不可导.(1)03sin,0,0;,0,xxyxxx证明：00()(0)sin(0)limlim1,0xxfxfxfxx300()(0)(0)limlim0,0xxfxfxfxx因(0)(0)ff，故函数在00x处不可导.(2)10,0,0;1e0,0,xxxyxx证明：100()(0)1(0)limlim0,01exxxfxffx100()(0)1(0)limlim1,01exxxfxffx因(0)(0)ff，故函数在00x处不可导.(3)02,1,1.,1,xxyxxx证明：11()(1)11(1)limlim,112xxfxfxfxx211()(1)1(1)limlim2,11xxfxfxfxx因(1)(1)ff，故函数在01x处不可导.3．设()()fxxax,其中a为常数，()x为连续函数，讨论()fx在xa处的可导性.解：()()()()()limlim()()()()()()limlim()xaxaxaxafxfaxaxfaaxaxafxfaaxxfaaxaxa.故当()0a时，()fx在xa处可导，且()0fa当()0a时，()fx在xa处不可导.4．已知()fx在0xx点可导，证明：0000()()lim()()hfxhfxhfxh.证明：000()()limhfxhfxhh000000()()()()limlimhhfxahfxfxhfxhh000()()()().fxfxfx5．求下列函数的导数：⑴3exy;⑵2arctanyx;⑶2+1exy;⑷22(1)ln(1)yxxx;⑸221sinyxx；⑹23cosyax（a为常数）；⑺1arccosyx；⑻2(arcsin)2xy；⑼21lnyx;⑽sincosnyxnx；⑾1111xxyxx;⑿1arcsin1xyx；⒀lncosarctan(sinh)yx；⒁222arcsin(022xaxyaxaa为常数）.解：⑴33exy;⑵421xyx;⑶2+12+111e2e22121xxyxx;⑷2222122ln(1)(1)(1)121xyxxxxxxx222ln(1)1xxxx;⑸22231122sincos()yxxxxx221212sincosxxxx；⑹3322cos(sin)3yaxaxax233sin2axax；⑺2211()11()yxx221xxx；⑻2112arcsin221()2xyx22arcsin24xx；⑼2211ln2ln21ln1lnxyxxxxx;⑽11sincoscossin(sin)sincos(1)nnnynxxnxxnxnnxnx；⑾2221111()(11)(11)()21212121(11)1;11xxxxxxxxyxxxx⑿211(1)(1)1;(1)11(1)2(1)1211xxyxxxxxxxx⒀211[sinarctan(sinh)]coshtanhcosarctan(sinh)1(sinh)yxxxxx；⒁222222221111(2)22221()xayaxxaxaxaxa.6．36arccos2,3xxyx求3xy.解：22111(6)23361()23xxyxxxx313xy7．求函数11ln21xyx的反函数()xy的导数.解：21[ln(1)ln(1)]2d1111()d2111yxxyxxxx故反函数的导数为：2d11dddxxyyx.8．设()ln(1)fxx，求()().nfx解：()1(1)!(ln)(1)nnnnxx()()1(1)!()[ln(1)](1)(1)nnnnnfxxx.9．求曲线y=lnx在与x轴交点处的曲率圆方程.解：由ln0yxy解得交点为(1，0).1112111,11.xxxxyxyx故曲率中心212(1,0)(1)312xyyxyyyy曲率半径为8R.故曲率圆方程为：22(3)(2)8xy.10．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴201sinlimsinxxxx；⑵lim(1)xxkx；⑶sinlimsinxxxxx；⑷eelim.eexxxxx解：⑴∵200111sin2sincoslimlimsincosxxxxxxxxx不存在,（因1sinx，1cosx为有界函数）又2001sin1limlimsin0sinxxxxxxx,故不能使用洛必达法则.⑶∵sin1coslimlimsin1cosxxxxxxxx不存在,而sin1sinlimlim1.sinsin1xxxxxxxxxx故不能使用洛必达法则.⑷∵eeeeeelimlimlimeeeeeexxxxxxxxxxxxxxx利用洛必达法则无法求得其极限.而22ee1elimlim1ee1exxxxxxxx.故答案选（2）.11．研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;xxxxfxfxxxx221(3)()lim;(4)()lim.1xxnxxnnnnnxfxfxxnnx解：(1)由初等函数的连续性知，()fx在（0，1），（1，2）内连续，又21111lim()lim(2)1,lim()lim1xxxxfxxfxx1lim()1,xfx而(1)1f，()fx在1x处连续，又，由200lim()lim0(0)xxfxxf，知()fx在0x处右连续，综上所述，函数()fx在[0，2)内连续.函数图形如下：图1-2(2)由初等函数的连续性知()fx在(,1),(1,1),(1,)内连续，又由1111lim()lim11,lim()lim1,xxxxfxfxx知1lim()xfx不存在，于是()fx在1x处不连续.又由1111lim()lim1,lim()lim11,xxxxfxxfx及(1)1f知1lim()(1)xfxf，从而()fx在x=1处连续，综上所述，函数()fx在(,1)及(1,)内连续，在1x处间断.函数图形如下：图1-3(3)∵当x0时，221()limlim1,1xxxxxxnnnnnfxnnn当x=0时，0000()lim0,nnnfxnn当x0时，2222111()limlimlim1111xxxxxxxnnnxnnnnfxnnnn1,0,()lim0,0,1,0.xxxxnxnnfxxnnx由初等函数的连续性知()fx在(,0),(0,)内连续，又由0000lim()lim11,lim()lim(1)1xxxxfxfx知0lim()xfx不存在，从而()fx在0x处间断.综上所述，函数()fx在(,0),(0,)内连续，在0x处间断.图形如下：图1-4(4)当|x|=1时，221()lim0,1nnnxfxxx当|x|1时，221()lim,1nnnxfxxxx当|x|1时，2222111()limlim111nnnnnnxxfxxxxxx即,1,()0,1,,1.xxfxxxx由初等函数的连续性知()fx在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim()lim()1,lim()lim1xxxxfxxfxx知1lim()xfx不存在，从而()fx在1x处不连续.又由1111lim()lim()1,lim()lim1xxxxfxxfxx知1lim()xfx不存在，从而()fx在1x处不连续.综上所述，()fx在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x处间断.图形如下：图1-512．求下列函数的最大值、最小值：254(1)(),(,0)fxxxx；解：y的定义域为(,0)，322(27)0xyx，得唯一驻点x=－3且当(,3]x时，0y，y单调递减；当[3,0)x时，0y，y单调递增,因此x=－3为y的最小值点，最小值为f(－3)=27.又lim()xfx，故f(x)无最大值.(2)()1,[5,1]fxxxx；解：11021yx，在(5,1)上得唯一驻点34x，又53,(1)1,(5)6544yyy,故函数()fx在[－5，1]上的最大值为54，最小值为65.42(3)82,13yxxx.解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x=0及x=2，而y(－1)=－5，y(0)=2，y(2)=－14，y(3)=11,故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.13．用函数极限定义证明：22222102sin314(1)lim0;(2)lim3;(3)lim4;42141(4)lim2;(5)limsin0.21xxxxxxxxxxxxxxx证：(1)0,要使1sinsin0xxxxx,只须1x,取1X，则当xX时，必有sin0xx,故sinlim0xxx.(2)0,要使22221313313||44xxxx,只须13x,取13X，则当Xx时，必有223134xx,故2231lim34xxx.(3)0,要使24(4)22xxx,只要取，则当02x时，必有24(4)2xx