品质手法直方图及正态分布知识

PreparebyH.PJ慧通天下品质部正态分布，也称常态分布，是统计学中一种应用广泛的连续分布，用来描述随机现象。首先由德国数学家高斯（CarlFriedrichGauss1777-1855）发现，所以亦称高斯分布。正态分布现大量应用于误差分析，及质量管理上,可以这样说，没有正态分布，就没有数理统计，没有正态分布，就没有现代化企业。CarlFriedrichGaussPreparebyH.PJ慧通天下品质部正态分布的定义是什么呢？对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数.PreparebyH.PJ慧通天下品质部一、正态分布的定义如果连续随机变量的概率密度为：),(~2NX记作f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.xexfx,)()(22221其中和都是常数，任意，0，则称X服从参数为和的正态分布.22PreparebyH.PJ慧通天下品质部正态分布有些什么性质呢？由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点.PreparebyH.PJ慧通天下品质部正态分布的图形特点),(2N正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.PreparebyH.PJ慧通天下品质部决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点),(2NPreparebyH.PJ慧通天下品质部能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？xexfx,)()(22221容易看到，f(x)≥0即整个概率密度曲线都在x轴的上方;PreparebyH.PJ慧通天下品质部故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:xexfx,)()(22221令x=μ+c,x=μ-c(c0),分别代入f(x),可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)21)(fPreparebyH.PJ慧通天下品质部这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴.即f(x)以x轴为渐近线.xexfx,)()(22221当x→∞时，f(x)→0,PreparebyH.PJ慧通天下品质部xexfx,)()(22221为f(x)的两个拐点的横坐标.x=μσ拐点坐标为,在内是凸的,其它范围内是凹的。2121,e,PreparebyH.PJ慧通天下品质部根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.拐点极大值点PreparebyH.PJ慧通天下品质部二、正态曲线（normalcurve）图形特点：1.钟型2.中间高3.两头低4.左右对称5.最高处对应于X轴的值就是均数6.曲线下面积为17.标准差决定曲线的形状Xf(X)PreparebyH.PJ慧通天下品质部00.10.20.30.40.50.6-4-3-2-101234Xf(X))1,0(2N)8.0,1(2N)2.1,1(2Nμ决定曲线的位置，σ决定曲线的“胖瘦”PreparebyH.PJ慧通天下品质部（4）服从正态分布的总体特征产品尺寸这一典型总体，它服从正态分布。它的特征：生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素。一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起到压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布。PreparebyH.PJ慧通天下品质部用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图.从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布.PreparebyH.PJ慧通天下品质部下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布.PreparebyH.PJ慧通天下品质部人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点.PreparebyH.PJ慧通天下品质部请大家想一想，实际生活中以及工作种具有这种特点的随机变量还有哪些呢？PreparebyH.PJ慧通天下品质部除了我们在前面遇到过的年降雨量外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.PreparebyH.PJ慧通天下品质部设X~,),(2NX的分布函数是xdtexFxt,)()(22221PreparebyH.PJ慧通天下品质部正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布.标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布PreparebyH.PJ慧通天下品质部dtexxt2221)(二、标准正态分布1,0的正态分布称为标准正态分布.xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用和表示：)(x)(x)(xPreparebyH.PJ慧通天下品质部标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.它的依据是下面的定理：根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.),(~2NXXY,则~N(0,1)设定理1PreparebyH.PJ慧通天下品质部书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.三、正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(表中给的是x0时,Φ(x)的值.当-x0时xxPreparebyH.PJ慧通天下品质部),,(~2NX若XY~N(0,1)若X～N(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abPreparebyH.PJ慧通天下品质部利用下表，可求出标准正态总体在任一区间内取值的概率。21,xx12xxp即，可用如图的蓝色阴影部分表示。公式：PreparebyH.PJ慧通天下品质部由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974四、3准则PreparebyH.PJ慧通天下品质部将上述结论推广到一般的正态分布,),(~2NY时，6826.0)|(|YP9544.0)2|(|YP9974.0)3|(|YP可以认为，Y的取值几乎全部集中在]3,3[区间内.这在统计学上称作“3准则”。