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小学数学总复习专题讲解及训练（九）教学内容：期中复习及考前模拟复习要点：（一）数与代数1、百分数的应用百分数的应用是在六年级（上册）认识百分数的基础上编排的，是本册教材的重点内容之一。要联系实际解决一些求一个数比另一个数多（或少）百分之几的问题，解决较简单的有关纳税、利息、折扣的问题，解决已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题。通过这些内容的教学，能让学生进一步理解百分数的意义，学会在日常生活中应用百分数。2、比例的有关知识比例的知识有比例的意义、比例的基本性质和解比例。这些知识有助于理解图形的放大与缩小，能用来解决有关比例尺的问题。3、成正比例和成反比例的量教学正比例和反比例，着重理解正比例的意义和反比例的意义，让学生在现实的情境中作出相应的判断。根据《标准》的精神，教材适当加强了正比例关系图像的教学，不再安排解答正比例或反比例的应用题。（二）空间与图形1、圆柱和圆锥圆柱与圆锥是本册教材的又一个重点内容，包括圆柱和圆锥的形状特征，圆柱的表面积及计算方法，圆柱和圆锥的体积及计算方法等知识。2、图形的放大或缩小图形的放大和缩小是小学数学新增加的教学内容，让学生初步了解图形可以按一定的比例发生大小变换。这个内容安排在第三单元里，结合比例的知识进行教学。3、确定位置等内容确定位置也是新增的教学内容，在初步认识方向的基础上，用“北偏东几度”“南偏西几度”的形式量化描述物体所在的具体方向，还要联系比例尺的知识，用“距离多少”的形式描述物体所在的位置。知识点梳理（一）数与代数1、百分数的应用（1）求一个数比另一个数多（少）百分之几的实际问题①要点：一个数比另一个数多（少）百分之几=一个数比另一个数多（少）的量÷另一个数②例题：六年级男生有180人，女生有160人，男生比女生多百分之几？女生比男生少百分只几？男生比女生多的人数÷女生人数=百分之几（180-160）÷160=12.5％女生比男生少的人数÷男生人数=百分之几（180-160）÷180≈11.1％（2）纳税问题①要点：应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率，应纳税额=收入×税率②例题：张强编写的书在出版后得到稿费1400元，稿费收入扣除800元后按14%的税率缴纳个人所得税，张强应该缴纳个人所得税多少元？（1400-800）×14%=84（元）（3）利息问题①要点：存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息占本金的百分率叫做利率。税前应得利息=本金×利率×时间②例题：叔叔今年存入银行10万元，定期二年，年利率4.50%，二年后到期，扣除利息税5%，得到的利息能买一台6000元的电脑吗？100000×4.5%×2×（1-5%）=8550（元）8550元6000元得到的利息能买一台6000元的电脑（4）有关折扣问题①要点：几折就是十分之几，也就是百分之几十。商品现价=商品原价×折数。②例题：一种衣服原价每件50元，现在打九折出售，每件售价多少元？九折就是90%，50×90%=50×0.9=45(元)例题：一种衣服现在打九折出售，现在售价是45元，每件的原价是多少元？九折”就是90%，ⅹ×90%=45ⅹ=50（5）列方程解稍复杂的百分数实际问题①要点：解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同；解答“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可以根据数量间的相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。②例题：果园里的梨树和苹果树共有360棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵？解：设梨树有ｘ棵，苹果树有20%ｘ棵ｘ+20％ｘ=360ｘ=30020％ｘ=300×20％=60答：梨树有300棵，苹果树有60棵。例题：某工厂六月份用煤60吨，六月份比五月份少用煤25％，五月份用煤多少吨？解：设五月份用煤ｘ吨ｘ-25％ｘ=60ｘ=80答：五月份用煤80吨。2、比例的有关知识（1）比例的意义①要点：表示两个比相等的式子叫做比例。②例题：应用比例的意义判断6.4:4和9.6:6能否组成比例？因为：6.4:4=6.4÷4=1.69.6:6=9.6÷6=1.6所以：6.4:4=9.6:6（2）比例的基本性质①要点：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项；在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。②例题：3：8=18：483×48=8×18内项外项例题：运用比例的基本性质判断3．6：1．8和0．5：0．25能否组成比例？因为3.6×0.25=0.91.8×0.5=0.9所以3．6：1．8=0．5：0．25例题：从12的因数中任意选出4个数，再组成8个比例式。因为：12=1×12=2×6=3×4所以从12的因数中任意选出两组4个数并运用比例的基本性质可以组成8个不同的比例。2×6=3×4（2）︰（3）=（4）︰（6）（3）︰（2）=（6）︰（4）（2）︰（3）=（4）︰（6）（3）︰（2）=（6）︰（4）（6）︰（4）=（3）︰（2）（4）︰（6）=（2）︰（3）（6）︰（4）=（3）︰（2）（4）︰（6）=（2）︰（3）（3）解比例①要点：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。②例题：3:8=ⅹ:40x9=8.05.48ⅹ=3×404.5ⅹ=9×0.88ⅹ=1204.5ⅹ=7.2ⅹ=15ⅹ=1.6(4)比例尺①要点：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺=实际距离图上距离，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。②例题：在一幅某乡农作物布局图上，20厘米表示实际距离16千米。求这幅图的比例尺。16千米=1600000厘米160000020=800001例题：说出下面比例尺表示的意思。这是线段比例尺，它表示图上1厘米的距离代表实际距离200千米。例题：在一幅比例尺是1：500000的地图上，量得甲、乙两城的距离是12.5厘米。甲、乙两城实际相距多少千米？方法1、12.5×500000=6250000（厘米）=62.5（千米）方法2、2.5×5=62.5（千米）方法3、12.5÷5000001=12.5×500000=6250000（厘米）=62.5千米解：设甲、乙两城实际相距ⅹ厘米。5.12=50000011ⅹ=12.5×500000ⅹ=62500006250000（厘米）=62.5千米（5）面积变化①要点：把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（n1）后，放大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是n²:1（或1:n²）。②例题：下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。量得小长方形的长是2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是7.5厘米，宽是3厘米。大长方形与小长方形长的比是7.5:2.5=3:1，宽的比是3:1。小长方形的面积大长方形的面积=15.235.7=5.25.7×13=9:1=3²:1大长方形与小长方形面积的比是9:1。3、成正比例和成反比例的量（1）正比例的意义和图像①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：xy=K（一定）用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。②例题：仔细观察下表，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？表格1数量/本13681020……总价/元41224324080……14=4，312=4，624=4……因为数量总价=单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当（）一定时，（）与（）成正比例；当（）一定时，（）与（）成正比例。例题：某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？造纸时间/时1234……造纸吨数/吨1.5……根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。吨数/吨65432101234567时间/时造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？因为造纸时间造纸吨数=每小时造纸吨数（一定），所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与造纸时间成正比例。根据图像判断，5小时造纸多少吨？根据图像判断，5小时造纸7.5吨（2）反比例的意义①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ=K（一定）。②例题：仔细观察下表，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：单价/元1.523456……数量/本403020151210……1.5×40=60，2×30=60，4×15=60……因为单价×数量=总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当（）一定时，（）与（）成反比例。（二）空间与图形1、圆柱和圆锥（1）圆柱和圆锥的特征圆柱圆锥底面两个底面完全相同，都是圆形。一个底面，是圆形。侧面曲面，沿高剪开，展开后是长方形。曲面，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开，展开后是扇形。高两个底面之间的距离，有无数条。顶点到底面圆心的距离，只有一条。（2）圆柱的表面积和体积①要点：圆柱的侧面积=底面周长×高圆柱的表面积=侧面积+底面积×2圆柱所占空间的大小是圆柱的体积，圆柱的体积（容积）=底面积×高，用含有字母的式子表示是：V=sh或者V=лr²h。②例题：用铁皮制作一个圆柱形烟囱，要求底面直径是3分米，高是15分米，制作这个烟囱至少需要铁皮多少平方分米？（接头处不计，得数保留整平方分米）侧面积：3.14×3×15=141.3（平方分米）≈142（平方分米）例题：一个圆柱形蓄水池，底面周长是25.12米，高是4米，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？底面积：25.12÷3.14÷2=4（米）3.14×4²=50.24（平方米）侧面积：25.12×4=100.48（平方米）表面积：50.24+100.48=150.72（平方米）水泥质量：150.72×20=3014.4千克例题：在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？3.14×（0.8÷2）²×2×60=60.288（立方米）（3）圆锥的体积①要点：圆锥所占空间的大小是圆锥的体积，圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。即V=31sh或者V=31лr²h。②例题：一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是()例题：把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是()立方米例题：一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。这堆沙约重多少吨？31×3.14×2²×1.5×1.8=11.304（吨）2、图形的放大或缩小①要点：把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。②例题：一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1:3的比缩小后，新图片的长是（）厘米，宽是（）厘米，这张图片（）不变，大小（）。一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1:3的比缩小后，新图片的长是（4）厘米，宽是（3）厘米，这张图片（形状）不变，大小（变了）。例题：一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（）的比放大后，边长变为30厘米。一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（3:1）的比放大后，边长变为30厘米。