《平面向量的概念》教学设计

1《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学4》（人教A版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”，是概念课。平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用．一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法的基础．本节从物理学中的速度、力等既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。本节课不仅要让学生理解向量的形式化定义及几个相关概念，而且能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。二、学情分析（一）有利因素：在学生已经在物理中学习了矢量，即知道力、位移、速度等是既有大小又有方向的物理量（矢量），知道可以借助有向线段来求作力的图示；了解数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、平面几何中的平行与共线；对类比的思想方法有所了解等。所在的创新二班和三班学生基础较好，接受知识能力较快。（二）不利因素虽然学生具备认知基础，但是，由于学生处于高一年级，对于本节课的难点：向量概念的理解及形成过程、零向量、相等向量、共线向量等概念，尤其在思维辨析方面，总体情况可能不是太好。.所以在分辨对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，适度加以引导和指导。三、教学目标1、知识与技能：(1)能结合物理中矢量认识向量，掌握向量与数量的区别.；(2)理解零向量、单位向量及向量的模等概念；(3)明确有向线段与向量的联系与区别，会用有向线段和字母表示向量；2(4)理解、判断共线向量（平行向量）、相等向量，并利用该概念进行推理证明。2、过程与方法：(1)运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索平面向量；(2)学生经历向量概念、表示，特殊向量和特殊关系的学习，感受到类比的思想和联系的观点是科学探究中常用的手段；(3)通过学生主动地参与到课堂中，提高学生学习数学的积极性；(4)了解向量概念及其产生的实际背景，经历向量学习的过程，体会向量来自于客观现实。3、情感态度与价值观：(1)学生感受向量的概念、方法源于现实放世界，激发数学学习兴趣；(2)经历用有向线段表示向量的操作过程，体会数学的实用性、表达的简洁美；(3)在体会研究数学问题的基本套路的同时，进而提高提出问题、研究问题的能力。四、教学重难点教学重点：向量的有关概念，向量的表示，相等向量与共线向量教学难点：零向量的理解，共线向量的判断五、教学过程1、向量概念的引入问题1：高中物理的第一课我们就学习了位移这个概念。它和路程有什么区别？“位移是矢量，既有大小又有方向；路程是标量只有大小，没有方向”那在物理中的矢量，也就是又有大小又有方向的量，在数学中我们称之为”向量”。物理中有大小，没有方向的标量，我们称之为”数量”。下面我们看一个例题。跟踪训练1下列各量中是向量的是()答案：BA.时间B.速度C.面积D.长度思考：平面直角坐标系的x轴，y轴是是向量吗？答：不是，x轴y轴只有方向，没有大小。【设计意图】强调向量的两个要素：大小和方向。2、向量的两种表示方法对于一个实数,可以用数轴上的点表示;对于一个角的正弦、余弦和正切,可以用三角函数线表示;对于一个二次函数,可以用一条抛物线表示…….数学中有许多量都可以用几何方式表示。问题2向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？联想一下物理中的矢量，比如力，我们3是怎样表示的？物理中我们画力的示意图的时候，是用带箭头的线段来表示的，即有向线段。有向线段是带有方向的线段，既有大小又有方向，所以可以用来表示向量。（如图）我们可以看到有向线段三个要素：起点、方向、长度。以A为起点、B为终点的有向线段记作向量AB→.起点写在前面，终点写在后面，上面再加一个箭头。有向线段的三个要素都被包含在表达式中了。这是向量的几何表示。向量的字母表示：用有向线段的起点和终点字母表示，如AB→。也可以小写字母a,b,c，…表示(印刷用黑体a，b，c，手写时用a→，b→，c→)．就像线段一样，可以用两端点的大写字母表示，也可以只用一个小写字母表示。要注意手写一定要加箭头。【设计意图】当我们认识一个新事物后，自然会想到如何来表示它．在过渡语言中，渗透研究新事物的基本套路。表示向量时，既要考虑大小，又要兼顾方向，这是一个难点，给予学生充足的时间，旨在期望学生自行突破。这里我们要注意有向线段和向量的区别。“有向线段则有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也是不同的有向线段。向量只与大小与方向有关，在平面中可以自由移动。比如向量BC就可以平移至向量AD，两向量重合。”【设计意图】反复渗透向量具有两个要素，说明向量可以“自由平移”，这为以后解决问题带来极大方便，也为共线向量的自然引出做好铺垫．3、向量的模及两个特殊向量由向量的几何表示，我们可以从有向线段中得到向量的大小表示。向量的“模”：向量AB→的大小，也就是有向线段AB→的长度，记作|AB→|.向量的模是一个数量，可以比较大小。模为单位长度1的向量叫“单位向量”，模为0的向量称为“零向量”。单位向量和零向量都是从大小方面定义的，他们的方向不确定。【设计意图】能够表示向量之后，自然会想到对向量展开研究；研究新对象时，自然能想到先研究其中的特殊成员，教师的过渡语旨在进一步渗透研究数学新对象的基本套路。ABCD44、平行向量、共线向量与相等向量两个单位向量他们的方向会有什么关系？类比一下线段之间的位置关系，可以平行也可以相交。相交的情况我们后面几节课会学到，今天我们先来讨论一下向量的平行。那么如果两个单位向量平行，他们的方向会是相等或者相反。【设计意图】教师启发，由学生归纳出平行向量的定义。给出平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a平行于b，记作a∥b.问题8：为什么要强调非零向量？零向量模长为零，可以看成一个点，因此我们规定零向量与任一向量平行．即对于任意的向量a,都有0∥a.在梯形ABEF中，，向量AB，向量CD，向量EF是一组平行向量，因为向量在空间中可以自由平移，所以将两个平行向量可以移到与AB所在的同一条直线上。由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的。【设计意图】动画的制作和播放便于学生直观地感受向量的平行，和向量在平面上的移动。到现在为止，我们学习的单位向量和零向量都是从向量的大小定义的，平行向量和共线向量是从方向来考虑的，那我们可不可以从大小和方向这两个方面同时定义呢？相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．记作a=b相反向量：长度相等且方向相反地向量叫做相反向量，记作a=-b。规定：零向量与零向量相等。跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？方法总结：准确画出向量的方法是先确定起点,再确定方向,最后根据向量的大小确定终点。【设计意图】本题既考察了学生如何用有向线段表示向量，又涉及到了相等向量的概念。55、题型分析题型一判断正误1,判断下列说法是否正确(1)平行向量方向一定相同.(×)(2)不相等向量一定不平行.(×)(3)单位向量都相等.(×)(4)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示.(√)(5)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反.(×)(6)若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同.(√)2．下列说法正确的是(C)A．向量AB→与BA→是相等向量B．共线的单位向量是相等向量C．零向量与任一向量共线D．两平行向量所在直线平行3.下列说法中正确的是(D)A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小4.下列说法正确的是_______．(填序号)③④①若a≠b，则a一定不与b共线；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③在平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若AB→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；题型二寻找相等向量或平行向量例2.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心。①分别写出与相等的向量。DOCBOAEODCOB②分别写出与共线的向量。FEDOCBOA//////AFEODCOB//////观察以上两问，你能得出什么结论？相等的向量一定共线，共线的向量不一定相等。变式题：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心。OBOA，OBOA，OA6①写出与相等的向量。EFDOCBOA②写出与共线的向量。DAADFEEFODDOBCCBAO,,,,,,,,③与模长相等的向量一共有几个。23个。一共有2条线段，可以构造两个相反向量。题型方法总结：(1)寻找相等向量：先长度再方向．(2)寻找共线向量：先找平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．“一线两用”：一条线段可以构造成两个方向相反的向量题型三利用相等向量和平行向量推理1.给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)①③④3.如图所示，在四边形ABCD中，AB→＝DC→，N，M分别是AD，BC上的点，且CN→＝MA→，求证：DN→＝MB→.6、课堂小结（板书）1.定义：方向、大小2.表示方法：有向线段、字母表示3.长度：单位向量、零向量方向：共线向量、平行向量OAOA(1)证明因为𝐴𝐵=𝐷𝐶,所以|𝐴𝐵|=|𝐷𝐶|,且AB∥CD.因此四边形ABCD是平行四边形,所以|𝐷𝐴|=|𝐶𝐵|,且DA∥CB.同理由𝐶𝑁=𝑀𝐴,可证四边形CNAM是平行四边形,所以𝐶𝑀=𝑁𝐴.|𝐶𝐵|=|𝐷𝐴|,|𝐶𝑀|=|𝑁𝐴|,所以|𝑀𝐵|=|𝐷𝑁|,即𝐷𝑁与𝑀𝐵的模相等,又𝐷𝑁与𝑀𝐵的方向相同,故𝐷𝑁=𝑀𝐵.(2)解图中与向量𝐷𝑁共线的向量有:𝑁𝐴,𝐴𝑁,𝑁𝐷,𝐶𝑀,𝑀𝐶,𝑀𝐵,𝐵𝑀,𝐶𝐵,𝐵𝐶,𝐷𝐴,𝐴𝐷.7长度和方向：相等向量、相反向量