【优化方案】2012高中数学-第2章2.2.2直线与圆的位置关系课件-苏教版必修2

2．2.2直线与圆的位置关系学习目标1.理解直线和圆的三种位置关系；2．会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系．课堂互动讲练知能优化训练2.2.2直线与圆的位置关系课前自主学案课前自主学案温故夯基1．圆的标准方程_________________________．2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．3．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________.|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)知新益能直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数_________判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d___rd___rd___r代数法：由Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ___0Δ___0Δ___0210==思考感悟1.是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用几何法与代数法这两种方法？提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行判断的，几何法侧重于“形”，代数法侧重于“数”．思考感悟2．过平面内一点可作几条圆的切线？提示：当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线．课堂互动讲练直线与圆的位置关系的判定考点突破判定直线与圆的位置关系，主要有代数法和几何法两种，解题时要根据具体情况灵活应用．例1当m为何值时，直线mx－y－m－1＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交、相切、相离？【思路点拨】联立两方程去掉一个未知数，再利用判别式讨论k的取值范围，或者是利用圆心到直线的距离与半径进行比较求系数k.【解】法一：将y＝mx－m－1代入圆的方程化简整理得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交；当Δ＝0，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切；当Δ＜0，即－43＜m＜0时，直线与圆相离．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心坐标为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离为d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.当d＜2，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交；当d＝2，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切；当d＞2，即－43＜m＜0时，直线与圆相离．【名师点评】有关直线与圆的位置关系的问题，一般采用几何法，用圆心到直线的距离与圆的半径比较大小加以判断，用判别式判断时运算量较大．变式训练1已知动直线l：y＝kx＋5和圆C：(x－1)2＋y2＝1，则当k为何值时，直线l与圆C相离？相切？相交？解：法一：(代数法)联立得方程组y＝kx＋5，x－12＋y2＝1，得(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0，则Δ＝(10k－2)2－4(k2＋1)·25＝－40k－96，∴当直线l与圆C相离时，－40k－96＜0，即k＞－125；当直线l与圆C相切时，－40k－96＝0，即k＝－125；当直线l与圆C相交时，－40k－96＞0，即k＜－125.法二：(几何法)圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径r＝1.设圆心C到直线l的距离为d，则d＝|k＋5|k2＋1.当d＞r，即|k＋5|k2＋1＞1时，k＞－125，此时直线l与圆C相离．当d＝r，即|k＋5|k2＋1＝1时，k＝－125，此时直线l与圆C相切．当d＜r，即|k＋5|k2＋1＜1时，k＜－125，此时直线l与圆C相交．直线与圆相切问题求圆的切线方程可用代数方法：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于x或y的一元二次方程，利用判别式进行求解，但此法不如用几何方法简练实用，几何方法就是利用圆心到直线的距离等于圆的半径进行求解．(本题满分14分)求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．例2【思路点拨】由于直线过定点(1，－7)，故可设切点或直线的斜率，采用几何法或代数法求解．【规范解答】由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.4分∴|－k－7|k2＋1＝5.6分解得k＝43或k＝－34.10分∴所求切线方程为y＋7＝43(x－1)或y＋7＝－34(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.14分【名师点评】求圆的切线一般有三种方法：(1)设切线斜率，利用圆心到直线距离等于半径求出斜率．(2)设切点，利用切线的性质解出切点坐标，由直线方程的两点式写出直线方程．(3)设切线斜率，利用判别式等于零，解出斜率．变式训练2(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，6)；(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．解：(1)因为点M的坐标适合圆的方程，所以点M在圆x2＋y2＝10上，由题可知圆心为C(0,0)，则直线CM的斜率kCM＝62，因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以所求切线的斜率k＝－26.故经过点M的切线方程为y－6＝－26(x－2)，整理得2x＋6y－10＝0.(2)容易判断点Q(3,0)在圆外，且x＝3不是圆的切线，故切线的斜率存在，设切线的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，又圆的圆心为(0,0)，半径长为2，所以|－3k|k2＋1＝2，解得k＝±255.所以所求切线方程为y＝±255(x－3)．利用直线与圆相交可解决弦长问题、弦心距问题、求直线或圆的方程问题．直线与圆相交问题例3直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得弦长为45，求l的方程．【思路点拨】当直线l的斜率不存在时，l：x＝5与圆C相切不满足题意，从而可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，再根据弦长AB＝45而解之．【解】若直线l的斜率不存在，不符合题意，故其斜率存在．设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5－5k＝0，由已知弦心距d＝52－252＝5，∴|5－5k|k2＋1＝5，解得k＝12，或k＝2.故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.【名师点评】在解决直线与圆相交的问题时，首先要考虑半径、弦长、弦心距之间的关系，这样可以获得比较简捷的解法．变式训练3已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.(1)证明：不论m为何实数，直线l与圆C恒相交；(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．解：(1)证明：由(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8，得m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0.则由x＋2y－7＝0，2x＋y－8＝0，得x＝3，y＝2.即直线l恒过定点A(3,2)．而AC＝3－22＋2－32＝22，即A在圆C内，∴过点A(3,2)的直线l一定与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4恒相交．(2)当直线l与直线AC垂直时，弦长最短，而kAC＝2－33－2＝－1，∴直线l的斜率为1，即－m＋22m＋1＝1，解得m＝－1.方法感悟1．判断直线与圆的位置关系的方法有两种：(1)利用圆心到直线的距离和圆半径大小的比较来判断；(2)联立直线和圆组成方程组，由方程组解的个数来判断．2．直线与圆相交时所得的弦的长度有两种求法：一是利用弦长公式，设圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)被直线y＝kx＋b截得的弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则AB＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，可通过根与系数的关系求出x1＋x2与x1x2，这种方法适用于直线和任意二次曲线相交的弦长问题，对于圆来说，显得比较麻烦，一般不采用；二是利用弦长、弦心距及半径三者之间的关系解决．根据垂径定理(过圆心垂直于弦的直线平分弦)、推论(过圆心平分弦的直线垂直于弦)，由半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，得弦长AB＝2r2－d2，r为半径，d为弦心距．