【优化方案】2012高中数学-第2章本章优化总结课件-新人教A版必修5

本章优化总结专题探究精讲本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲数列通项公式的求法题型特点：数列的通项公式是数列的核心内容，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式便可研究数列其它问题，求数列通项公式常见题型为：已知数列的前几项，已知数列的前n项和，已知数列的递推关系等条件来求数列的通项公式，题型多为解答题．知识方法：在解题时，根据题目所给条件的不同，可以采用不同的方法求数列的通项公式，常见方法有如下几种：1．观察归纳法观察归纳法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．(1)12×4，13×5，14×6，15×7；(2)－3,7，－15,31；(3)2,6,2,6.例1【解】(1)均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，∴an＝1n＋1n＋3.(2)正负相间，可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴an＝(－1)n(2n＋1－1)．(3)这样的摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．an＝4＋(－1)n·2或an＝2，n是奇数6，n是偶数.2．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．已知数列{an}为无穷数列，若an－1＋an＋1＝2an(n≥2且n∈N*)，且a2＝4，a6＝8，求通项an.例2【解】∵an－1＋an＋1＝2an，∴an－1，an，an＋1成等差数列．又∵n≥2且n∈N*，∴数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，由a2＝4，a6＝8，可得a1＝3，d＝1，∴通项an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.3．利用an与Sn的关系前n项和关系式有两种形式：一种是Sn与n的关系式，记为Sn＝f(n)，它可由公式an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2直接求出通项an，但要注意n＝1与n≥2两种情况能否统一；另一种是Sn与an的关系式，记为f(an，Sn)＝0，求它的通项公式an已知数列{an}满足关系式lg(1＋a1＋a2＋…＋an)＝n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．【解】由题意知lg(Sn＋1)＝n，∴Sn＝10n－1.当n＝1时，a1＝S1＝9.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1)＝9×10n－1.显然，n＝1时也满足关系式9×10n－1.综上，an＝9×10n－1(n∈N*)．例34．叠加法、叠乘法有些数列，虽然不是等差数列或等比数列，但是它的后项与前项的差或商具有一定的规律性．这时，可考虑利用叠加或叠乘法，结合等差、等比数列的知识解决．已知a1＝1，an＋1an＝n＋2n，求an.例4【解】当n≥2时，an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝1×31×42×53×…×n＋1n－1＝nn＋12.而a1＝1也适合上式．故{an}的通项公式an＝12n(n＋1)．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．例5【解】由an＋1－an＝3n－n，得an－an－1＝3n－1－(n－1)，an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，…a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.当n≥2时，以上(n－1)个等式两端分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]，即an－a1＝31－3n－11－3－nn－12.又∵a1＝1，∴an＝12×3n－nn－12－12.显然a1＝1也适合上式，∴{an}的通项公式为an＝12×3n－nn－12－12.5．构造法形如：已知a1，an＋1＝pan＋q(p、q为常数)形式均可用构造等比数列法，即an＋1＋x＝p(an＋x)，{an＋x}为等比数列，或an＋2－an＋1＝p(an＋1－an)，{an＋1－an}为等比数列．已知f(x)＝(x－1)2，g(x)＝10(x－1)，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，bn＝910(n＋2)·(an－1)．求证：数列{an－1}是等比数列．例6【证明】∵(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，f(an)＝(an－1)2，g(an)＝10(an－1)．∴(an＋1－an)×10(an－1)＋(an－1)2＝0.即(an－1)(10an＋1－9an－1)＝0.又a1＝2，可知对任意n∈N＋，an－1≠0，所以an＋1＝910an＋110.∵an＋1－1an－1＝910an＋110－1an－1＝910，∴{an－1}是以a1－1＝1为首项，公比为910的等比数列．数列求和题型特点：求数列的和是数列运算的重要内容之一，数列求和可分为特殊数列求和与一般数列求和，特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称为一般数列．一般多以解答题形式出现，难度较大．知识方法：数列求和常用的方法有：①公式法(即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解)，②倒序相加法，③错位相减法，④裂项相消法，⑤分组转化法(即把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化为等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解)．求数列{12n－12n＋1}的前n项和Sn.例7【解】令an＝12n－12n＋1，则an＝12(12n－1－12n＋1)，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1.设数列{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，且T1＝1，T2＝4.(1)求数列{an}的首项和公比；(2)求数列{Tn}的通项公式．例8【解】(1)设等比数列{an}的公比为q，∵Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，由T1＝1，T2＝4，得a1＝1，2a1＋a2＝4，∴a1＝1，a2＝2，∴q＝2.故首项a1＝1，公比q＝2.(2)由(1)知a1＝1，q＝2，∴an＝a1×qn－1＝2n－1.∴Tn＝n×1＋(n－1)×2＋…＋2×2n－2＋2n－1，①2Tn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋2×2n－1＋1×2n，②由②－①得Tn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋2－2×2n1－2＝－n＋2n＋1－2＝－(n＋2)＋2n＋1.等差、等比数列的性质题型特点：等差、等比数列性质是数列中的基础，试题多以选择题和填空题的形式考查，属于基础题，难度不大．知识方法：(1)等差数列的性质：①当d＞0时为递增数列；当d＜0时为递减数列；当d＝0时为常数列．②若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.③在等差数列{an}中，若k1，k2，…，kn，…成等差数列，则ak1，ak2，…，akn，…也成等差数列．④Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．(2)等比数列的性质：①当a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1时为递增数列；当a1＞00＜q＜1或a1＜0q＞1时为递减数列；当q＜0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．②若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.③在等比数列{an}中，若k1，k2，…，kn，…成等差数列，则ak1，ak2，…，akn，…成等比数列．④当Sk≠0时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列．等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8a9a10a11＝()A．10B．25C．50D．75【解析】∵a8a11＝a9a10＝a5a14＝5，∴a8a9a10a11＝(a5a14)2＝25.【答案】B例9数列知识的综合应用题型特点：等比数列与等差数列综合的应用是高考的热点之一，对公式的变形应用是考查重点，一般多以解答题的形式考查，有时作为压轴题，难度较大．知识方法：解决此类问题一般都不能直接套用公式，需对题目中的已知条件进行变形，使之符合等差或等比数列的形式，才可以使用等差或等比数列的公式和性质．(2010年高考福建卷)数列{an}中，a1＝13，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝(13)n＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．例10【解】(1)由Sn＋1－Sn＝(13)n＋1得an＋1＝(13)n＋1(n∈N*)．又a1＝13，故an＝13n(n∈N*)．从而Sn＝13×1－13n1－13＝12(1－13n)(n∈N*)．(2)由(1)可得S1＝13，S2＝49，S3＝1327.由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列可得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t，解得t＝2.