2017复习一元二次方程

1一元二次方程一、一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.一般形式为：02cbxax)0(a，其中a为二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.一元二次方程的根是使得方程两边等号成立的未知数x的值.二、一元二次方程的解法一元二次方程的求解的最根本的思路是“降次”.（1）直接开方法：mxmmx,02（2）配方法：02cbxax222442aacbabx（3）因式分解法：021xxxx（4）求根公式法：条件04,02acba且aacbbx242三、一元二次方程根的判别式02cbxax)0(a根的判别式:acb42当acb420时,方程有两个不相等的实数根;当acb42=0时,方程有两个相等的实数根;当acb420时,方程没有实数根.四、一元二次方程根与系数的关系042acb时，方程的两根21,xx有：abxx21；acxx21若两个正根则有002121xxxx若两个负根则有002121xxxx五、一元二次方程的应用利润问题：利润＝售价－成本；利润率＝成本利润×100％2增长率问题:年数增长率）现在的＝原来的1(考点分析：1.对一元二次方程的概念及根的考察；2.一元二次方程的求解；3.利用换元法解方程；4．一元二次方程的根的判定；5.一元二次方程与分式方程的综合应用；6.一元二次方程的应用题.典型例题分析与练习类型1.一元二次方程的概念与方程的根例1.关于x的方程032)1()1(22mxmxm.当m=时,方程为一元二次方程;当m时,方程为一元一次方程.例2.在方程：,0532xx,5312xx03222xxkx，,03522yxyx53)1(,023222xxxxxxx必是一元二次方程的有个.例3.63)122)(122(baba,那么ba的值为.例4.如果21x是关于x的方程：02322aaxx的根，那么关于y的方程ay32的解是.例5.已知关于x的一元二次方程023)2(22mxxm的一个根是零,求m的值及另一个根.例6.三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，kcm，且k满足一元二次方程,05922kk求此三角形的周长.例7.如果代数式5242yy的值为7,那么代数式122yy的值等于.类型2.一元二次方程的求解直接开方法：3例1.（1）22)2(16)32(xx（2）bax2)((b0)配方法：例2.把关于x的方程0162xax)0(m用配方法解应变形为.例3.用配方法解方程：(1)0662yy(2)03232yx(3)131212xx(4)cbxx22（02bc）例4.试说明：无论x取何值，代数式542xx的值总大于0，再求出当x取何值时，代数式542xx的值最小？最小值是多少？变式题：试说明：无论x取何值，代数式1042xx的值总小于0，再求出当x取何值时，代数式542xx的值最大？最大值是多少？公式法：例5.对方程02cbxax)0(a利用配方法推导求根公式：例6.解方程：(1)01432xx(2)xx3122(3)023)31(2xx4(4)mnxnxmmnx22222)0(mn（5）123422aaaxx因式分解法：（利用平方差，十字相乘法）例7.解方程：（1）)3(5)3(4xxx（2）22)32(44xxx（3）044222baaxx（4）0622bbxx（5）03)3(2)3(2xx（6）08232xx(7)0)(222abxbaabx)0(ab（8）xxx2632225例8.如果06)1()(2222baba，求22ba的值.例9.当x为何值时，最简二次根式xx32与2442x是同类二次根式？例10.已知：,012xx求1323xxx的值.类型3.一元二次方程根的判别式例1.方程0)12(2axax根的判别式的值是8，则a.例2.求证不论m取何值方程0)4(2)1(222mmxxm都没有实根.例3.已知a是实数，且方程0122axx有两个不相等的实根，试判别方程0)1(21122222axaaxx有无实根？例4.已知关于x的一元二次方程022caxax的两个实数根之差的平方为m.(1)试分别判断当2,2,3,1caca与时,4m是否成立,说明理由.(2)若对于任意一个非零的实数a,4m总成立,求实数c及m的值.例5.解关于x的方程0)2(222xxkxx6例6.若dcba,,,都是实数，且),(2dcab证明：关于x的方程,02caxx02dbxx中至少有一个方程有实数根.类型4.实际问题与一元二次方程例1.某化肥厂一月份生产化肥t500，从二月份起，由于改进操作技术，使第一季度共生产化肥1750t，若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（）A．1750)1(5002xB．1750)1(500)1(5002xxC．1750)1(5005002xD．1750)1(500)1(5005002xx例2.一个三位数、十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和.已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数.例3.在ABCRt中∠C90，AC+BC=7,AB边上的中线长为2.5，求这个直角三角形的三边长.例4.学校要把校园内一块长50米，宽40米的长方形空地进行绿化.计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积占整个绿化地面积的103，求草坪的宽度.7例5.某工厂有一油罐，通过两个控制阀门分别向甲、乙两台锅炉供应燃油，单独烧甲锅炉用完一罐油的时间比单独烧乙锅炉用完一罐油的时间多4小时.如果单独烧甲锅炉14小时，再单独烧乙锅炉12小时，就正好用完一罐油，问一罐油可单独供甲、乙两锅炉各烧多少小时.例6.某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完。由于该书畅销，第二交购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本。当这批书售出54时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还赚钱了（不考虑其它因素？）若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？例7.某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠，绿化家乡是全县人民的共同愿望．到1998年底，全县沙漠的绿化率已达30％．此后，政府计划在近几年内，每年将当年年初末被绿化的沙漠面积的m％栽上树进行绿化，到2000年底，全县沙漠的绿化率已达43.3％，求m的值．注：沙漠的绿化率＝被绿化的部分）原有沙漠总面积（含已已被绿化的沙漠总面积例8.某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元？例9.据报道，今年第一季度宁波完成国内生产总值（GDP）354亿元，比杭州少45亿元，宁波和杭州构成了全省经济的第一集群，绍兴（230亿元）和温州（227.5亿元）两城市组成了第二集群，第三集群有台州（19.4亿元）、嘉兴（167.6亿元）、金华（161.7亿元）.(1)求杭州、宁波、绍兴、温州、台州、嘉兴、金华七市今年第一季度GDP的平均值(精确到1亿元)；（2）经预测，宁波市今年第三季度GDP可达到407亿元，那么平均每季度增长的百分率是多少（精确到0.1％）？8例10.如图，菱形ABCD中，AC、BD交于O，AC=8米，BD＝6米，动点M从A出发以2米/秒匀速直线运动到C，动点N从B出发以1米/秒匀速直线运动到D，若M、N同时出发，问出发后几秒钟，MON的面积是41米2.一、作业：填空题：（每题3分，共30分）；1、方程xx3122的二次项系数是，一次项系数是，常数项是；2、22___)(_____6xxx；22____)(_____3xxx3、方程0162x的根是;方程0)2)(1(xx的根是;4、如果二次三项式16)122xmx（是一个完全平方式，那么m的值是_______________.5、如果一元二方程043)222mxxm（有一个根为0，则m=;6、已知方程032mxx的两个相等实根，那么m；7、方程)34(342xx中，⊿=，根的情况是；8、若方程02qpxx的两个根是2和3，则qp,的值分别为9、已知方程0132xx的两根是21,xx；则：2221xx，2111xx。10、已知方程022kxx的一个根是1，则另一个根是，k的值是。二、选择题：（每题3分，共24分）1、下列方程是关于x的一元二次方程的是（）；A、02cbxaxB、2112xxC、1222xxxD、)1(2)1(32xx2、方程24330xxx的根为（）；（A）3x（B）125x（C）12123,5xx（D）12123,5xxDABCO93、解下面方程：（1）225x（2）2320xx（3）260xx，较适当的方法分别为（）（A）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法（C）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法4、方程5)3)(1(xx的解是（）；A.3,121xxB.2,421xxC.3,121xxD.2,421xx5、方程0322xx的两根的情况是（）；A、没有实数根；B、有两个不相等的实数根C、有两个相同的实数根D、不能确定6、一元二次方程0624)2(2mmxxm有两个相等的实数根，则m等于（）A.6B.1C.6或1D.27、以3和1为两根的一元二次方程是（）；（A）0322xx（B）0322xx（C）0322xx（D）0322xx8、某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨。若平均每月增率是x，则可以列方程（）；（A）720)21(500x（B）720)1(5002x（C）720)1(5002x（D）500)1(7202x三、解方程（每题6分，共48分）；①9)12(2x（直接开平方法）②0432xx（用配方法）③0822xx（用因式分解法）④.)4(5)4(2xx⑤xx4)1(2⑥.42)2)(1(xxx⑦.31022xx⑧.x－2）（x－5）=－210四、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092xx的一个根，求这个等腰三角形的腰长。（9分）五、已知方程0142xax；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？（9分）六、试证明：不论m为何值，方程0)14(222mmxmx总有两个不相等的实数根。（9分）七、已知关于x的方程0)2(4122mxmx⑴若方程有两个相等的实数根,求m的值,并求出此时方程的根（6分）⑵是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在,求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由。（6分）八、一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？（9