欧式空间习题

第九章欧式空间习题1．(填空)设n,,,21为n维欧氏空间V中的基,在此基下向量,坐标分别为),,,(21naaa与),,,(21nbbb,则内积niiiba1),(的充分必要条件是。（n,,,21是V的标准正交基）2．(填空)21,VV是有限维欧氏空间的子空间，存在0,2V，使得1V的充分条件是子空间的维数之间满足。（）维（）维（21VV3．对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是（对角线上的元素为±1）。4．（证明）设A与B是欧氏空间V的两个线性变换，并且对任意V有))(),(())(),((BBAA，证明AV与BV作为欧氏空间是同构的。证明：AV与BV均是欧氏空间V的子空间，因而对于V的内积来说作成欧氏空间。令VBAf),()(:，则f是一个映射；因为任取V,，若),()(AA得,0)(A))(),((0))(),((BBAA，从而有,0)(B即),()(BB可证f是单射，又是满射，现证f是线性的；RkVAAA),()(),(，有)()(())()((BAfAAf))(())(()()(AfAfBB)()()()(())((kfkBkBkAfkAf，再证f保持内积不变；V,，有))(),(())(),((2))(),(())(),(AAaAAAAA))(),(())(),((2))(),(())(),(BBBBBBBB所以))(),(())(),((BBAA即))(),(())((),(((BBAfAf))(),((AA，从而f是同构映射，AV与BV作为欧氏空间是同构的。5．（证明）设V是实数域R上的n维欧氏空间，n,,,21是V的一组基，nCCC,,,21是R中的n个数。证明：存在唯一向量,V使得内积niCii,,2,1),(。证明：设内积关于基n,,,21下的度量矩阵为A，且设（n,,,21）nkkk21;则niiAkkni,,2,1,010),,(),(1，所以),,(),,,(100001010),,,()),(,),,(),,((1212121nnnnCCAkkkAkkk从而),,(1nkk=121),,,(ACCCn，所以满足条件的是存在的。再证唯一性;设存在V，也有niCii,,2,1),(，则niCiii,,2,1),(),(，从而有nii,,2,10),(，可推出0),(即。6．（证明）设m,,,21，m,,,21，是欧氏空间中的两组向量，如果mjijiji,,2,1,),,(),(，则),,,(211mLV与),,,(212mLV同构。证明：先证21dimdimVV；设rV1dim且r,,,21为V1的基，设02211rrkkk，因为mjijiji,,2,1,),,(),(，所以rrrrrrrriiiriiikkkkkk111,1111),(),(),(),(),(),(=rrrrrrrkkkk111,11),(),(),(),(),(=),(11riiiriiikk，01riiik。由r,,,21线性无关，得212dimdim,dimVVrV即同理可证12dimdimVV，所以21dimdimVV，即1V与2V同构。7．若对于n个非零数0,,0,021nkkk二次形AXXxxxfn),,,(21都有0),,,(21nkkkf则二次形AXXxxxfn),,,(21是正定二次形。8．求证：在欧氏空间中，两个向量,的模相等当且仅当0),(。9．若A为n阶实对称矩阵，且)(12NkEAk,证明：存在A为n阶正交矩阵U，使得.EAUU10．证明：欧氏空间V的每一个子空间W，都有唯一的正交补。证明：如果W={0}，那么W的正交补就是空间V，唯一性显然成立；设W≠{0}；欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间，在W中取一组正交基出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。