《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习3-4章课件3-4定积分与微积分基本定理(

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·高考一轮总复习第三章导数及其应用走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学第三章导数及其应用第三章导数及其应用走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学第三章第四节定积分与微积分基本定理(理)第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3课后强化作业5第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学基础梳理导学第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学重点难点引领方向重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分．难点：用定义求定积分．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学夯实基础稳固根基1．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ζi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ζi)Δx＝i＝1nb－anf(ζi)，当n→∞时，此和式无限接近某个常数，第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝limn→∞i＝1nb－anf(ζi)，这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学对定义的几点说明：(1)定积分abf(x)dx是一个常数．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2)用定义求定积分的一般方法是：①均匀分割：n等分区间[a，b]；②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；③求和：i＝1nf(ξi)·b－an；④取极限：abf(x)dx＝limn→∞i＝1nf(ξi)·b－an.第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(3)定积分abf(x)dx的值只与被积函数f(x)及积分区间[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关．2．定积分的几何意义当f(x)≥0时，定积分abf(x)dx的几何意义：表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．当y0时，即曲边梯形在x轴的下方时abf(x)dx在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学一般情况下(如图)，定积分abf(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a、x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学3．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)acf(x)dx＋cbf(x)dx＝(其中acb)kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxabf(x)dx第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．F(b)－F(a)．F(b)－F(a)．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学思想方法技巧第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学一、思想方法(1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式．(2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限思想．(3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求定积分常用的方法．(4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学二、解题技巧1．(1)用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体会定积分的基本思想方法．(2)用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．(4)利用定积分求曲线所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学2.由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：S＝ab[f(x)－g(x)]dx(如图)．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学考点典例讲练第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例1](2011·潍坊二模)曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()定积分的几何意义第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学分析：在同一坐标系中作出函数y＝sinx，y＝cosx，和直线x＝0，x＝π2，观察它们所围成的图形，找出积分上下限和最积函数．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：当x∈[0，π2]时，y＝sinx与y＝cosx的图象的交点坐标为π4，22，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝π4，x＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D.答案：D第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学若定积分-2m－x2－2xdx＝π4，则m等于()A．－1B．0C．1D．2第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：根据定积分的几何意义知，定积分-2m－x2－2xdx的值，就是函数y＝－x2－2x的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝－x2－2x是圆心(－1,0)，半径为1的上半圆，其面积等于π2，而-2m－x2－2xdx＝π4，即在区间[－2，m]上该函数图象应为14的圆，于是得m＝－1.故选A.答案：A第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：理解被积函数的几何意义，是解决这类问题的突破口.第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例2]求下列定积分(1)02(x2＋x)dx＝________；(2)49x(1＋x)dx＝________；(3)12|3－2x|dx＝________；定积分的性质与微积分基本定理第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：(1)02(x2＋x)dx＝(13x3＋12x2)|20＝143.第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学答案：(1)143(2)4516(3)12(4)π－24(5)1－1eπ第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2012·西安五校第一次模拟)设f(x)＝x2，x∈[0，1]1x，x∈1，e](e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为________．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：依题意得，0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x3|10＋lnx|e1＝43.答案：43第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例3](2011·菏泽期末)曲线y＝x，y＝2－x及y＝－13x所围成图形的面积为________．利用定积分求平面图形的面积第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：先画出各曲线如图．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学易求得点A(3，－1)，B(1,1)，故所围成区域的面积为S＝01[x－(－13x)]dx＋13[(2－x)－(－13x)]dx＝(23x32＋16x2)|10＋(2x－13x2)|31＝56＋43＝136.答案：136第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2011·湖南高考)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：如图为y＝cosx在[－π3，π3]上的图象．答案：D第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例4]如图所示，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a1)交于点O、A，直线x＝t(0t≤1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连结OD、DA、AB.综合应用第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(1)写出线段OD、DA、AB和曲线OB所围成的曲边四边．．．．形．ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：(1)由y＝x2y＝－x2＋2ax得点O(0,0)，A(a，a2)．又由已知得B(t，－t2＋2at)，D(t，t2)．故S＝0t(－x2＋2ax)dx－12·t·t2＋12(－t2＋2at－t2)×(a－t)＝－13x3＋ax2t0－12t3＋(－t2＋at)×(a－t)第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学＝－13t3＋at2－12t3＋t3－2at2＋a2t＝16t3－at2＋a2t.∴f(t)＝16t3－at2＋a2t(0t≤1)．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2)f′(t)＝12t2－2at＋a2，令f′(t)＝0，即12t2－2at＋a2＝0，解得t＝(2－2)a或t＝(2＋2)a.∵0t≤1，a1，∴t＝(2＋2)a应舍去．若(2－2)a≥1，即a≥12－2＝2＋22时，∵0t≤1，∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S的最大值是第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学f(1)＝a2－a＋16.若(2－2)a1，即1a2＋22时，当0t(2－2)a时，f′(t)0，当(2－2)at≤1时，f′(t)0.∴f(t)在区间(0，(2－2)a)上单调递增，在区间((2－2)a,1]上单调递减．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学∴f(t)的最大值是f[(2－2)a]＝16[(2－2)a]3－a[(2－2)a]2＋a2(2－2)a＝22－23a3.综上所述，[f(t)]max＝a2－a＋16，a≥2＋22，22－23a3，1a2＋22.第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学如图所示，抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的两交点为A，B，点P在抛物线上从A向B运动．第三章第四节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(1)求使△PAB的面积最大时P点的坐标(a，b)；(2)在(1)的条件下，