模态分析理论

机械模态分析理论基础假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统线性：描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性;定常：振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐激励-响应的频率必定与激励一致。稳定：系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。振动系统分类：空间角度：离散（有限自由度）系统和连续（无限自由度）系统时间角度：连续时间系统和离散时间系统连续模拟信号--离散数字信号研究步骤：（1）建立结构的物理参数模型（以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程）（2）研究其特征值问题，求得特征值和特征矢量，得到结构的模态参数模型（模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数）。正则化，解耦。（3）通过研究受迫动力响应问题，可得到系统的非参数模型（频响函数和脉冲响应函数）。频响函数和脉冲响应函数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。根据阻尼模型的不同，分为：无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统1、单自由度系统的振动粘性阻尼系统的振动微分方程：)(tfkxxcxm自由振动：0kxxcxm正则形式：0220xxx其中：mc2：衰减系数（衰减指数）；mk0：无阻尼固有频率（固有频率）引入阻尼比（无量纲阻尼系数）：mkc20运动微分方程可写成：02200xxx特解为：tex，为方程的特征值，因此：0)(2kcm为使系统有非零解，很显然：02kcm因此可得到的解为：dj2,1式中：201d成为阻尼固有频率。当：1（0），过阻尼，系统不产生振动；当：=1（0），过阻尼，系统不产生振动；当：1（0），过阻尼，系统不产生振动。可见，特征值实部代表系统的衰减系数；虚部代表系统的阻尼固有频率。在振动理论中，特征值称为复频率。方程的通解（自由振动响应）为：tAexdtsin其中，A和取决于系统的初始条件。当t=0时，00,xxxx。000120020xxxtgxxxAdd2、传递函数、频响函数对于简谐激励：()jtftFe，其稳态响应：()jtxtXeh(t)单位脉冲外力下的响应函数(简称为脉冲响应函数)，时域内反映系统的动态特性：dtfhtx)()()(H(ω)机械导纳，反映系统对不同频率的激励的传递放大特性，反映系统易受振动。频域内反映系统的动态特性)()()(FXH对于单自由度粘性阻尼振动系统，通过拉氏变换和傅氏变换可得到：FXmjck)(2所以，位移频响函数为：jcmkFXH21)()()(速度频响函数为：jcmkjFVHV2)()()(加速度频响函数为：jcmkFAHA22)()()(频响函数的倒数成为阻抗。单位脉冲响应函数（简称为脉冲响应函数）：振动系统中单位脉冲力作用下的自由响应。单位脉冲力()t是指：脉冲量为1，作用时间无限短的瞬时力：,0()0,0()1ttttdt且，质点受到单位脉冲力作用后获得的动量为：01mx，则自由振动的初始条件就为：0010,xxm可得到系统的自由振动响应：1()sintddhtetm就是脉冲响应函数。很容易证明频响函数和脉冲响应函数是一对傅氏变换对：)()(thHF（1）简谐激励结构在简谐激励下的稳态响应也是同频率的简谐振动。但有相位差。)()()()()(jtjtjeFXXetxFetf）（H工程中，应变常常是非常重要的，而且易于测量。应变片体积小、质量小、成分低，对试验结构影响很小。而且由应变可计算得到应力，工程中常常通过测量得到应变模态。（2）周期性激励周期性激励可通过傅立叶级数展开成各阶谐波的叠加。响应也是由对应激励的各阶谐波频率成分组成。（3）瞬态激励激励和响应都是非周期信号。但是对于绝对可积的函数，可应用傅立叶变换得到激励和响应的频率域函数：dtetxXdtetfFtjtj)()()()(因此，)()(FX）（H（4）随机激励为非确定性的激励，无法用一个明确的函数来描述，不绝对可积，不能对激励和响应进行傅立叶变换，只能用概率统计的方法来处理。在时间域：相关函数在频率域：功率谱密度函数deRjxfxf)(）（G)(xfxfRFG）（很显然，)(F）（H)X(无法描述输入和输出的统计特性。做进一步推导：1）)()()()()(**FFHFXE)()()(ˆ1ffxfGGH2）)()()()()(**XFHXXE)()()(ˆ2xfxxGGH)()()()(ˆ22ffxxxffxGGG相干函数可以检验系统的非线性程度，如测量对象在某处联接存在松动等非线性情况，系统非线性等。当输入和输出存在噪声，也会使相干函数下降。ffMMGGHH1)(ˆ12ˆ()1NNxxGHHG)(1)(11)(ˆ2xxNNffMMfxGGGG输入存在噪声，会使估计的频响函数偏小；输出存在噪声，会使估计的频响函数偏大；还可用下面一些估计方法：123412ˆˆ()()ˆ()2ˆˆˆ()()()HHHHHH（3）模态试验技术1）工作模态：相同激励，同时测量响应。（未考虑激励，无法量化）2）自由模态：测量激励和响应。（单点激励法、多点激励法）试验系统：激励装置和激励传感器响应传感器分析处理激励方法：锤击法作动器、激振器（正弦激励、正弦扫描激励、阶跃松弛激励、随机激励、白噪声激励）4、模态参数识别（1）单自由度系统对于粘性阻尼系统，传递函数为：2222222221221111)()()(jkjcmkFXH其中，0频率比实际金属结构，常常不完全能用粘性阻尼来描述衰减特性，实际结构的阻尼主要来源于金属材料本身的内部摩擦（内耗）及各部件连接界面（如螺钉、衬垫）相对滑移（干摩擦）。它们消耗的能量与振幅的平方成正比。其阻尼成为结构阻尼。结构阻尼产生的阻尼力：dfkjx其中，：结构阻尼比（损耗因子），引入结构阻尼系数：kg。结构阻尼力的大小与位移成正比，方向与速度相反的一种阻尼力。因此具有结构阻尼特性的单自由度振动系统运动微分方程为：)()1(tfkxjxm22222221111)(jkH2222111)(kHR22211)(kHI2222121)()(kkHHIR是一个圆的方程。通过试验可求得系统的频响函数，利用上述频响函数的特征可以识别系统的特征参数：固有频率、阻尼特性、模态振型等。（2）多自由度系统实际结构一个连续体，是复杂无限自由度系统。绝大多数振动结构可离散成为有限个自由度的多自由度系统。对于一个有n个自由度的振动系统，需用n个独立的物理坐标来描述其物理参数模型。在线性范围内，物理坐标系的自由振动响应为n个主振动的线性叠加。每个主振动都是一种特定形态的自由振动，振动频率即为系统的主频率（固有频率），振动形态即为系统的主振型（模态或固有振型）。多自由度系统的惯性、弹性和阻尼都是耦合的，刚度和阻尼矩阵是非对角化的矩阵，很难求解！微分方程解耦（矩阵对角化）！求特征值和特征向量，在结构中就是将系统转化到模态坐标，使系统解耦。FKXXCXMF:激励向量；X:响应向量。M、C、K分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵。拉氏变换：)()(2sFsXKsCMs用j替代s，进入傅氏域内处理：CMKFXHj21)()()()()(2FXCMKj对于线性不变系统，系统的任何一点的响应均可以表示成各阶模态响应的线性组合：)()()()()(2211NlNrlrlllqqqqX式中：)(rq为r阶模态坐标；lr为l测点的r阶模态振型系数。对于N个测点，各阶振型系数可组成列向量，称为r阶模态振型。Nrrrr21φ各阶模态向量组成模态矩阵：TNφφφφ,,,21物理意义：各阶模态对响应的贡献量。Nqqq21Q，为模态坐标。（1）对于无阻尼自由振动系统02φQMK02φMK对于r阶模态：02rrφMK左乘Tsφ，得到：02rrTsφMKφ对于s阶模态：02ssφMK右乘sφ，得到：02rTsTTsφMKφ两式相减，可以得到：022rTssrMφφ当rs时，0rTsMφφ0rTsKφφ当r=s时，rTsrrTsMφφKφφ2令：rrTsKKφφ，rrTsMMφφrrrMK2rrMK,分别称为模态刚度和模态质量。我们再引入比例阻尼和对应的模态阻尼rC，因此有：用模态坐标替代物理坐标后，rrrrrFQCjMK2可见，刚度、质量、阻尼矩阵都已经对角化了，即解耦了。对应r阶有：rrrrrrFqCjMK2模态试验时，我们测得p点激励，l点响应：TpFF0)(0模态力为：)(pprrFF由上面可得：rrrpprrrrrrCjMKFCjMKFq22)(NrrrrpprlrNrrlrlCjMKFqx121)()(所以，l点和p点间的频响函数：NrrrrprlrpllpCjMKFxH12)()()(令prlrrerKK，为等效模态刚度NrrrrerlpjKH12)1(1)(其中，rr为r阶模态频率比；rrrrMC2为r阶模态阻尼比。注意：上述讨论适合无阻尼、比例阻尼，刚度矩阵和阻尼矩阵是对称的，称为实模态矩阵。对于小阻尼系统也还是适用的。而对于大阻尼系统，需要采用复模态来进行分析。6、模态参数识别的方法（1）频域模态参数识别法：单模态识别法、多模态识别法1）最小二乘导纳圆拟合法（单模态）22222221111)(jkH2）差分法（单模态）3）非线性加权最小二乘法（多模态）4）直接偏导数法（多模态）5）Levy法（多模态）6）正交多项式拟合法7）分区模态综合法（2）时域模态参数识别法1）随机减量法2）ITD法3）最小二乘复指数法（LSCE）4）ARMA时序分析法结构动力修改模态分析的目的是了解系统的动态特性。在已知结构动态特性参数后，我们应该寻求改进系统动态特性的方法。有两种情况：1）由于制造和设计原因，不得不对现有结构进行局部修改。如：共振？局部疲劳破坏？振动噪声大异常等?是否可以根据目前系统来寻求结构的优化，改进系统的动态特性！2）由于原结构动态特性不理想，需要修改。如：要在系统中加/减一个附件？是否可以根据目前系统推知和预测修改后系统的模态特性参数！（1）灵敏度分析对于结构动态特性灵敏度分析，从灵敏度的基本概念出发：一阶微分灵敏度：ixxFs)(一阶差分灵敏度：ixxFs)(结构动特性灵敏度是指：特征参数（特征值、特征向量）对结构参数（质量、刚度、阻尼）的改变率。也就是单位结构参数的变化产生的特征参数