两条直线的夹角

11.3-2两条直线的夹角23:00:53零陵中学邵伟11.3-2两条直线的夹角23:00:53一、复习判断下列各组直线的位置关系，若相交并求出其交点：1:3120lxy2:62240lxy1:3120lxy2:230lxy1:3120lxy3:0lxy，（1）（2）（3）11.3-2两条直线的夹角23:00:53αβ图1图2图1和图2可用哪个角表示两直线的夹角？11.3-2两条直线的夹角23:00:531.两条相交直线的夹角:两条相交直线所成的锐角或直角称为两条相交直线的夹角.2.如果两条直线平行或重合,我们规定它们的夹角为3.平面上两条直线夹角的范围:0,2oxy二、两直线夹角定义及范围：0oxy11.3-2两条直线的夹角23:00:53coscos于是得:的夹角为;方向向量的夹角为1l、2l1d、2d两直线1d2d1l2loxy1)三、两直线夹角公式的推导2l1l2)oxy1d2d1d2d若时:2若为钝角时:11.3-2两条直线的夹角23:00:53解:根据与的方程,取1l2l111(,),dba222(,)dba为与的方向向量.1l2l由向量的夹角公式得:1212122222121122cosddaabbddabab所以两直线的夹角公式:121222221122cosaabbabab问题:此时角是唯一确定的吗?0:1111cybxal0:2222cybxal二条直线：(其中不同时为零;不同时为零)11ab、22ab、直线夹角的大小.求两向量推导coscos由11.3-2两条直线的夹角23:00:53斜率推导法xyl1l2l2:a2x+b2y+c2=0l1:a1x+b1y+c1=0βαθOxyl1l2l2:a2x+b2y+c2=0l1:a1x+b1y+c1=0βαθO11.3-2两条直线的夹角23:00:5312(1):3120,:230;lxylxy例1.求下列各组直线的夹角：1l2l解：（1）根据与的方程及两直线夹角公式可得:2222321(1)2cos2(1)312即直线和的夹角为1l2l4因为,所以02，4典型例题11.3-2两条直线的夹角23:00:5312(2):3120,:0;lxylx例1.求下列各组直线的夹角：1l2l解：（2）根据与的方程及两直线夹角公式可得:22223110310cos10(1)310即直线和的夹角为1l2l310arccos10因为,所以02，310arccos10典型例题11.3-2两条直线的夹角23:00:5312(3):312,:0;lyxlxy例1.求下列各组直线的夹角：1l2l根据与的方程及两直线夹角公式可得:2222311(1)5cos5(1)31(1)即直线和的夹角为1l2l5arccos5因为,所以02，5arccos5典型例题1l解：的方程化为一般式为：3x+y-12=011.3-2两条直线的夹角23:00:53例1.求下列各组直线的夹角：121(4):1,:1(,0)lyaxlyxaRaa12(5)10,0,laxylxaya解：的一般式方程为的一般式方程为2222|1(1)|cos0,211()aaaapaa??==\=+?-典型例题11.3-2两条直线的夹角23:00:53例2.已知直线l经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0的夹角为，求直线l的方程。3arccos52）当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0;解:典型例题23433cos(arccos)55251kk所以有解得724k由1)、2)可知，方程为7x+24y-10=0或x=2;1）直线斜率不存在时，验证知x+2＝0也满足题意;所以直线方程为7x+24y-10=0；因为两直线夹角为，3arccos511.3-2两条直线的夹角23:00:53解:典型例题法二:设直线l的一个法向量为,则直线的点法向式方程为(2)(1)0axbx(,)nab整理得:20axbyab当b=0时直线l的方程为x+2=0;当时直线l的方程为7x+24y-10=0;0b所以直线l的方程为x+2=0或7x+24y-10=0;整理得:22343abab即:b(24b-7a)=0,223435916abab因为l与l0的夹角为,由两直线夹角公式得：3arccos5例2.已知直线l经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0的夹角为，求直线l的方程。3arccos511.3-2两条直线的夹角23:00:53(2,1)Poxy例2.已知直线l经过点P(-2,1),且与直线l0：3x-4y+5=0的夹角为，求直线l的方程。3arccos511.3-2两条直线的夹角23:00:53练习11.已知直线l经过原点，且与直线的夹角为，求直线l的方程；31yx611.3-2两条直线的夹角23:00:53练习22.求经过点A(1,0)，且与直线x-y+3=0成30o的直线的方程；11.3-2两条直线的夹角23:00:53思考题思考题：已知的三个顶点为；(1)求中的大小;(2)求的平分线所在直线的方程.ABC)5,5(),1,6(),1,2(CBAABCAA11.3-2两条直线的夹角23:00:53逐渐减弱1111:0laxbyc2222:0laxbyc1.二条直线：(其中不同时为零;不同时为零)11ab、22ab、(1)两直线的夹角公式:121222221122cosaabbabab2.当直线和垂直时:1l2l121kk(2)两直线斜率都存在时，或一个斜率不存在，另一个斜率为零.12120aabb(1)小结：11.3-2两条直线的夹角23:00:53感谢各位老师莅临指导！