2020届江苏省南通市四校联盟高三下学期模拟测试数学文试题

页1第江苏省南通市2020届四校联盟高三数学文模拟测试卷一、填空题（共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上）1．已知集合A|3|1xx，2B540xxx，则AB▲．42.复数21zi，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为▲．1i3．设向量a＝(l，k)，b＝(﹣2，k﹣3)，若a∥b，则实数k的值为▲．14．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．10115．函数f(x)=)34log21x（的定义域为▲.(-3/4,1]6．已知命题p：－1x－a1，命题q：(x－4)(8－x)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是▲．[5，7]7．在正四棱锥S﹣ABCD中，点O是底面中心，SO＝2，侧棱SA＝2，则该棱锥的体积为▲．32/38．若函数()cos(2)fxx(0)的图象关于直线12x对称，则＝▲．569．已知椭圆22221xyab(a＞b＞0)的离心率12e，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则cos()cos()的值为▲．1710．在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则PAPBPBPC=▲．12规则排成数表.11.如图，将数列na中的所有项按每一行比上一行多两项的页2第已知表中的第一列125,,,aaa构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若3865,524aa，则d=▲．312．己知x(0，3)，则28132xyxx的最小值为▲．7213.若函数f(x)=x3-ax2x,x0存在零点，则实数a的取值范围为▲.[2,+∞)14．已知()(2)(3)fxmxmxm，()22xgx，若同时满足条件：①xR，()0fx或()0gx；②(,4)x，()()0fxgx．则m的取值范围是．(4,2)二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC1∥平面PBD；（2）求证：BD⊥A1P．（1）证明：连结AC交BD于O点，连结OP，因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以O点是AC的中点，所以AOOC．又因为点P是侧棱1CC的中点，所以1CPPC．在1ACC中，11CPAOOCPC,所以1//ACOP．………………4分又因为OPPBD面，1ACPBD面，所以1//AC平面PBD．………………7分（2）证明：连结11AC.因为1111ABCDABCD为直四棱柱，所以侧棱1CC垂直于底面ABCD，又BD平面ABCD，所以1CCBD．因为底面ABCD是菱形，所以ACBD．又1ACCCC，111,ACACCCAC面面,所以1BDAC面．………………10分又因为1111,PCCCCACCA面,所以11PACCA面，因为111AACCA面，所以11APAC面，所以1BDAP．………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝45．（1）若c＝2a，求sinBsinC的值；PD1C1B1A1DCBAOPD1C1B1A1DCBA页3第（2）若C－B＝π4，求sinA的值．解：（1）解法1：在△ABC中，因为cosB＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45．………………2分因为c＝2a，所以(c2)2＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝920，所以bc＝3510．………………4分又由正弦定理得sinBsinC＝bc，所以sinBsinC＝3510．………………6分解法2：因为cosB＝45，B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝35．………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，所以sinC＝2sin(B＋C)＝65cosC＋85sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝255，所以sinBsinC＝3510．………………6分（2）因为cosB＝45，所以cos2B＝2cos2B－1＝725．………………8分又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝35，所以sin2B＝2sinBcosB＝2×35×45＝2425．………………10分因为C－B＝π4，即C＝B＋π4，所以A＝π－(B＋C)＝3π4－2B，所以sinA＝sin(3π4－2B)＝sin3π4cos2B－cos3π4sin2B＝31250．………………14分17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:10xyCabab＞＞的右焦点为1,0F，且过点3(1,)2．过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于,AB两点，点P在椭圆上，且满足0OAOBtOPt＞．xyFPOBA（第17题）页4第（1）求椭圆C的标准方程；（2）若22t，求直线AB的方程．.解：（1）由题意可知，1c，且221914ab，又因为222abc，解得2,3ab，………2分所以椭圆C的标准方程为22143xy………4分；（2）若直线AB的斜率不存在，则易得33(1,),(1,)22AB，2(2,0)2OAOBOP，得(22,0)P，显然点P不在椭圆上，舍去………5分；因此设直线l的方程为1ykx，设1122(,),(,)AxyBxy，将直线l的方程与椭圆C的方程联立221143ykxxy，整理得2222(34)84120kxkxk………7分，因为221,2246134kkxk，所以2122834kxxk………8分，则由12122,k22OAOBxxxxOP，得1212(2(),2(2))Pxxkxx………10分将P点坐标代入椭圆C的方程，得22212123()4(2)6xxkxx()………11分;将2122834kxxk带入等式()得234k，32k………12分，因此所求直线AB的方程为312yx………14分设直线l的方程为1xmy求解亦可18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，,CDCE为路灯灯杆，CDAB，2π3DCE，在E处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN．已知4m,2mCDCE．（1）当,MD重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．解：（1）当,MD重合时，NMECDBA（第18题）页5第由余弦定理知，222cos27MEDECDCECDCEDCE，所以22257cos214CDDECECDECDDE……2分，因为π2CDEEMN，所以57sincos14EMNCDE，因为cos0EMN＞，所以221cos1sin14EMNEMN，……4分因为π3MEN，所以2πsinsin3ENMEMN2π2π27sincoscossin337EMNEMN……6分在EMN中，由正弦定理可知，sinsinMNEMMENENM，解得732MN……8分；（2）易知E到地面的距离2ππ42sin5m32h，……10分由三角形面积公式可知，11π5sin223EMNSMNEMEN△，所以103MNEMEN,……12分又由余弦定理可知，222π2cos3MNEMENEMENEMEN≥，……13分当且仅当EMEN时，等号成立，所以2103MNMN≥，解得1033MN≥……14分；答：（1）路灯在路面的照明宽度为73m2；（2）照明宽度MN的最小值为103m3.……16分19．（本小题满分16分）已知函数xxxxf3231)(23（Rx）的图象为曲线C．（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．【解】（1）34)(2xxxf，则2()(2)11kfxx，----------4分页6第（2）由（1）可知，111kk---------------------------------------------------------6分得：,22)3,1(22,x；-------------------------------9分（3）设存在过点A),(11yx的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B),(22yx，21xx，过A),(11yx的切线方程是：)232()34(2131121xxxxxy，-----------------11分同理：过B),(22yx的切线方程是)232()34(2232222xxxxxy，则有：3434222121xxxx，得421xx，----------------------13分又由22322131232232xxxx，即0))((2))((32212122212121xxxxxxxxxx04)(31222121xxxx，即012)(22211xxxx即0124)4(222xx，044222xx得22x，由421xx得21x，这与21xx矛盾，所以不存在----------16分20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，已知11a，且111nnnnnnaSaSaa对一切*nN都成立．（1）时；当1，①求数列na的通项公式；②若,)1(nnanb求数列nb的前n项的和;nT（2）是否存在实数λ，使数列na是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.【详解】(1)①若1，因为111nnnnnnaSaSaa则1111nnnnSaSa，111aS.又∵0na，0nS，∴1111nnnnSaSa，∴3131221212111111nnnnSSaaSaSSSaaa，页7第化简，得1112nnSa.①∴当2n时，12nnSa.②②－①，得12nnaa，∴122nnana.∵当1n时，22a，∴1n时上式也成立，∴数列na是首项为1，公比为2的等比数列，12nna-=.………………4分②因为1nnbna，∴112nnbn所以012212232422(1)2nnnTnn所以123122232422(1)2nnnTnn将两式相减得：1212222(1)2nnnTn12(12)2(1)2212nnnnn所以2nnTn………………8分(2)令1n，得21a.令2n，得231a.要使数列na是等差数列，必须有2132aaa，解得0.当0时，111nnnnSaSa，且211aa.………………10分当2n时，1111nnnnnnSSSSSS，整理，得2111nnnnnSSSSS，1111nnnnSSSS