欧式空间习题

个人收集整理仅供参考学习1/3第九章欧式空间习题1．(填空)设n,,,21为n维欧氏空间V中的基,在此基下向量,坐标分别为),,,(21naaa与),,,(21nbbb,则内积niiiba1),(的充分必要条件是。（n,,,21是V的标准正交基）2．(填空)21,VV是有限维欧氏空间的子空间，存在0,2V，使得1V的充分条件是子空间的维数之间满足。（）维（）维（21VV3．对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是（对角线上的元素为±1）。4．（证明）设A与B是欧氏空间V的两个线性变换，并且对任意V有))(),(())(),((BBAA，证明AV与BV作为欧氏空间是同构的。证明：AV与BV均是欧氏空间V的子空间，因而对于V的内积来说作成欧氏空间。令VBAf),()(:，则f是一个映射；因为任取V,，若),()(AA得,0)(A))(),((0))(),((BBAA，从而有,0)(B即),()(BB可证f是单射，又是满射，现证f是线性的；RkVAAA),()(),(，有)()(())()((BAfAAf)()()()(())((kfkBkBkAfkAf，再证f保持内积不变；V,，有))(),(())(),((2))(),(())(),(AAaAAAAA所以))(),(())(),((BBAA即))(),(())((),(((BBAfAf))(),((AA，从而f是同构映射，AV与BV作为欧氏空间是同构的。个人收集整理仅供参考学习2/35．（证明）设V是实数域R上的n维欧氏空间，n,,,21是V的一组基，nCCC,,,21是R中的n个数。证明：存在唯一向量,V使得内积niCii,,2,1),(。文档来自于网络搜索证明：设内积关于基n,,,21下的度量矩阵为A，且设（n,,,21）nkkk21;则niiAkkni,,2,1,010),,(),(1，所以从而),,(1nkk=121),,,(ACCCn，所以满足条件的是存在的。再证唯一性;设存在V，也有niCii,,2,1),(，则niCiii,,2,1),(),(，从而有nii,,2,10),(，可推出0),(即。6．（证明）设m,,,21，m,,,21，是欧氏空间中的两组向量，如果mjijiji,,2,1,),,(),(，则),,,(211mLV与),,,(212mLV同构。证明：先证21dimdimVV；设rV1dim且r,,,21为V1的基，设02211rrkkk，因为mjijiji,,2,1,),,(),(，所以rrrrrrrriiiriiikkkkkk111,1111),(),(),(),(),(),(个人收集整理仅供参考学习3/3=rrrrrrrkkkk111,11),(),(),(),(),(=),(11riiiriiikk，01riiik。由r,,,21线性无关，得212dimdim,dimVVrV即同理可证12dimdimVV，所以21dimdimVV，即1V与2V同构。7．若对于n个非零数0,,0,021nkkk二次形AXXxxxfn),,,(21都有0),,,(21nkkkf则二次形AXXxxxfn),,,(21是正定二次形。8．求证：在欧氏空间中，两个向量,的模相等当且仅当0),(。9．若A为n阶实对称矩阵，且)(12NkEAk,证明：存在A为n阶正交矩阵U，使得.EAUU10．证明：欧氏空间V的每一个子空间W，都有唯一的正交补。证明：如果W={0}，那么W的正交补就是空间V，唯一性显然成立；设W≠{0}；欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间，在W中取一组正交基