导数双变量专题

导数-双变量问题1.构造函数利用单调性证明2.任意性与存在性问题3.整体换元—双变单4.极值点偏移5.赋值法构造函数利用单调性证明形式如：1212|()()|||fxfxmxx方法：将相同变量移到一边，构造函数1.已知函数239()()(24fxxx）对任意12,1,0xx，不等式12|()()|fxfxm恒成立，试求m的取值范围。2.已知函数2()(1)ln1fxaxax.设1a,如果对12,(0,)xx,有1212|()()|4||fxfxxx,求实数a的取值范围.3.已知函数2)1ln()(xxaxf区间)1,0(内任取两个实数qp,，且qp时，若不等式1)1()1(qpqfpf恒成立，求实数a的取值范围。4.已知函数21()2ln(2),2fxxaxaxaR．是否存在实数a，对任意的12,0,xx，且21xx，有2121()()fxfxaxx，恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．练习1：已知函数2()lnfxaxx,若0a,且对任意的12,[1,]xxe，都有121211|()()|||fxfxxx,求实数a的取值范围．练习2.设函数.若对任意恒成立，求的取值范围.()ln,mfxxmRx()()0,1fbfababam5.已知函数21()1ln,12fxxaxaxa（1）讨论函数的单调性（2）证明：若5a，则对任意的12,0,xx，且21xx，有2121()()1fxfxxx恒成立6.设函数2mxfxexmx（1）证明：fx在,0单调递减，在0,单调递增；（2）若对于任意12,1,1xx，都有12|()()|e1fxfx，求m的取值范围。任意与存在性问题1.已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．（1）若函数xfy在e,1上的图像恒在xgy的上方，求实数a的取值范围．（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，求实数a的取值范围．2.已知函数321()313fxxxx，2()2gxxxa（1）讨论方程()fxk（k为常数）的实根的个数。（2）若对任意0,2x，恒有()fxa成立，求a的取值范围。（3）若对任意0,2x，恒有()fxgx成立，求a的取值范围。（4）若对任意10,2x，存在20,2x，恒有12()fxgx成立，求a的取值范围。整体换元——双变单1.已知函数2()ln.fxaxx（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）当0a时，设斜率为k的直线与函数()yfx相交于两点1122(,)(,)AxyBxy、21()xx，求证：121xxk．练习1.已知函数为常数其中且aaaxxgxxxfa),1,0(log)(,221)(2，如果)()()(xgxfxh在其定义域上是增函数，且存在零点（的导函数）．（I）求的值；（II）设是函数()ygx的图象上两点，0()()()gngmgxnm0(()()),:.gxgxmxn为的导函数证明()hx()()hxhx为a(,()),(,())()AmgmBngnmn练习2.已知函数21()ln1,()2afxxaxgxx，aR；（1）已知2a，()()()hxfxgx，求()hx的单调区间；（2）已知1a，若1201xx，211221()()()()fxfxftxtxxx，求证：122xxt练习3.已知函数,xfxexR，设ab，比较2fafb与fbfaba的大小，并说明理由。2.已知函数xaxxfln有且只有一个零点，其中a＞0.（Ⅰ）求a的值；（II）设，对任意，证明：不等式恒成立.3.已知2()2lnfxxxax在(0,)内有两个零点12,xx，求证：'12()02xxf。练习.已知函数f(x)＝lnx－mx（m∈R），若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．xxfxh2121,1,xxxx121212121xxxxxhxhxx＞4.已知函数2()ln0fxxaxa（1）若2'fxx对任意的0x恒成立，求a的取值范围（2）当1a时，设函数g()fxxx，若12121,,1,1xxxxe，求证：41212xxxx。对称轴问题12xx的证明1.已知函数xfxxe．(1)求函数fx的单调区间和极值；(2)已知函数xgy的图象与函数yfx的图象关于直线1x对称．证明：当1x时，fxgx；(3)如果21xx，且12fxfx，证明：122xx2.已知函数2ln0,1xfxaxxaaa(1)求函数fx的单调区间；(2)1a，证明:当0,x时，fxfx(3)若对任意21xx，且当12fxfx时，有120xx，求a的取值范围.练习.已知函数lnfxxx．(1)求函数fx的单调区间和极值；(2)如果21xx，且12fxfx，证明：122xxe赋值法1.已知函数10rfxrxxrx，其中r为有理数，且01r（1）求fx的最小值；（2）试用（1）的结果证明：若12120,0,,aabb为正有理数，若121bb，则12121122bbaaabab（3）将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明。2.已知函数ln,ln1ln,0,1fxxgxxx；（1）证明：[1,),g0xx恒成立（2）若正数12,满足121，证明：对于任意正数12xx，都有11221122fxxfxfx（3）若正数123,,满足1231，试类比（2）的结论，写出一个正确的结论，并证明。