高考数学平面向量专题问题解决

高考数学平面向量专题问题解决目录问题一平面向量基本定理的应用问题..................................1问题二平面向量中的范围、最值问题................................14问题三平面向量解析几何中的应用...................................28问题四高考题中向量数量积的若干种求法..............................54问题一平面向量基本定理的应用问题平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现,它很好的体现了数学知识间的联系与迁移,具体到平面向量基本定理,又在向量这部分知识中占有重要地位,是向量坐标法的基础,是联系几何和代数的桥梁,本文从不同角度介绍定理的应用．一、利用平面向量基本定理表示未知向量平面向量基本定理的内容：如果1e,2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ11e+λ22e,平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量．【例1】如图,平面内有三个向量,,OAOBOC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且3||2,||,||232OAOBOC,若(,)OCOAOBR,则（）A.4,2B.83,32C.42,3D.34,23[来源:Z,xx,k.Com]ABCO【分析】平面向量基本定理实质上是“力的分解原理”,过点C分别作直线,OAOB的平行线,分别与直线,OBOA相交,利用向量加法的平行四边形法则和平面向量共线定理将OC用,OAOB表示．【点评】利用平面向量基本定理表示未知向量时,向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及必要的平面几何知识是必要的．【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】在ABC中,若点D满足DCBD2,则AD（）A．ABAC3231B．ACAB3235C．ABAC3132D．ABAC3132【答案】D【解析】由DCBD2,得ADACABAD2,因此ABACAD23,因此ABACAD3132,故答案为D．二、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题．【例2】【2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量,OAOB满足1OAOB,,(,,)OAOBOCOAOBR若M为AB的中点,并且1MC,则的最大值是（）A．13B．12C．5D．13【分析】首先利用已知条件建立适当的直角坐标系,并写出点,AB的坐标,然后运用向量的坐标运算计算出点C的坐标,再由1MC可得,所满足的等式关系即圆的方程,设t,将其代入上述圆的方程并消去得到关于的一元二次方程,最后运用判别式大于等于0即可得出所求的答案．【点评】若题中有互相垂直的单位向量,大多可建立坐标系,转化为代数问题.【小试牛刀】如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量的最小值为则,APDEAC【答案】21三、三点共线向量式设,,ABC是共线三点,O是平面内任意一点,则(1)OBOAOC,其特征是“起点一致,终点共线,系数和为1”,利用向量式,可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值．【例3】如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且,AMxABANyAC,则xyxy的值为.NMGCBA【分析】g(x)在区间(－2,－1)内存在单调递减区间可转化为'()0gx在区间(－2,－1)有解,且不是唯一解,参变分离为2ax+x,只需求右侧函数的最大值,再检验等号．【点评】本题实质是不等式的有解问题,可先参变分离,转化为求函数的最值问题,但是需注意因为函数单调是对于某一区间而言的,故还需检验解不是唯一．【小试牛刀】若点M是ABC所在平面内一点,且满足：3144AMABAC.（1）求ABM与ABC的面积之比.（2）若N为AB中点,AM与CN交于点O,设BDxBMyBN,求,xy的值.解（1）由3144AMABAC可知M、B、C三点共线如图令BMBCAMABBM()ABBCABACAB1(1)4ABAC[来源:学*科14ABMABCSS即面积之比为1：4（2）由BOxBMyBN2yBOxBMBA4xBOBCyBN由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线41726147yxxxyy四、平面向量基本定理在解析几何中的应用【例4】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】设双曲线NACBOM22221xyab(0,0)ab的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若OPmOAnOB(,)mnR,且29mn,则该双曲线的渐近线为（）A．34yxB．24yxC．12yxD．13yx【分析】过双曲线的右焦点,0Fc并与x轴垂直的直线:lxc,与渐近线byxa的交点坐标为,,bcAcc,,bcBcc代入向量运算得到点P的坐标,再代入双曲线方程求出离心率,从而渐近线方程可求．【点评】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.【小试牛刀】【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知是双曲线22221xyab（0a,0b）的左顶点,1F、2F分别为左、右焦点,为双曲线上一点,G是12FF的重心,若1GF,则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．4D．与的取值有关【答案】B【解析】因为1GF,所以1G//F,所以113OAOGOFOP,即13ac,所以3cea,故选B．864224681510551015AGF2F1OP【迁移运用】1.如图,在平行四边形ABCD中,aAB,bAD,NCAN3,则BN（）(用a,b表示)[来源A．ba4341B．ba4143C．ab4341D．ab4143【答案】D【解析】331313444444BNBAANBAACBAABADABADab.2．设向量)20cos,20(sin),25sin,25(cosooooba,若btac(tR),则2()c的最小值为（）A．2B.1C.22D.21【答案】D【解析】由已知得)20cos25sin,20sin25(costtc,则222()21cctt,在对称轴处取到最小值21．3.【2016届广西武鸣县高中高三8月月考】直线过抛物线的焦点,且交抛物线于两点,交其准线于点,已知,则（）A.2B.C.D.4【答案】C【解析】过A,B分别作准线的垂线交准线于E,D.因为,所以,且,设,则,根据三角形的相似性可得,即,解得,所以,即,所以,选C.4．已知,OAOB是两个单位向量,且OAOB=0．若点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,则(,),OCmOAnOBmnR则nm（）A．13B．3C33D．3【答案】C【解析】以O原点,向量OBOA,所在直线为yx,轴,建立平面直角坐标系,因为∠AOC=30°,设C点的坐标为)33,(xx,由OBnOAmOC得xnxm33,,33mn．5．在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,AN＝λAB＋μAC,则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D.1【答案】A【解析】∵M为边BC上任意一点,∴可设AM＝xAB＋yAC(x＋y＝1)．∵N为AM中点,∴AN＝12AM＝12xAB＋12yAC＝λAB＋μAC.∴λ＋μ＝12(x＋y)＝12.6.已知baOBbaOAa,),3,1(,若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则AOB的面积是（）A．3B．2C．22D．4【答案】D【解析】因为1,3a,所以132a.设AB中点为C,则12OCOAOBa,则2OCa.在直角三角形AOB中斜边24ABOC,所以14242AOBS.故D正确.7.过坐标原点O作单位圆221xy的两条互相垂直的半径OAOB、,若在该圆上存在一点C,使得OCaOAbOB（abR、）,则以下说法正确的是（）A．点,Pab一定在单位圆内B．点,Pab一定在单位圆上C．点,Pab一定在单位圆外[来源:学D．当且仅当0ab时,点,Pab在单位圆上【答案】B．【解析】使用特殊值方法求解．设0,1,1,0,,,ABOCaOAbOBCba．C在圆上,221,,abPab在单位圆上,故选B．8.在平面上,⊥,||=||=1,=+．若||,则||的取值范围是()A．(0,]B．(,]C．(,]D．(,]【答案】D【解析】因为⊥,所以可如图建立直角坐标系,设O(x,y),||=a,||=b,因为=+,所以P(a,b)因为||=||=1,所以由知,点O在以点（a,0)为圆心,1为半径的圆上,所以同理由得,．所以．又由得,而由可得,,即,所以．综上所述,即．9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线:10lxky与圆22:4Cxy相交于,AB两点,OMOAOB．若点M在圆C上,则实数k（）A．2B．1C．0D．1【答案】C10.如图,在扇形OAB中,60AOB,C为弧AB上的一个动点．若OCxOAyOB,则yx4的取值范围是．【答案】1,4【解析】如图建立直角坐标系,设此扇形半径为1,60AOB,所以13(,),(1,0)22AB,由圆的参数方程可知cos([0,])sin,3ccxy为参数，,因为OCxOAyOB,所以13(cos,sin)(,)(1,0)22xy,则有1cos23sin2xyx,解得2sin3sincos3xy,则Y=4xy23sin=4cos3,[0,]3,以下用导数方法求解Y函数的最值情况,因为'234sincos3Y,当[0,]3时,sin0,cos0,则'0Y,即Y函数在[0,]3时是单调递减的,所以当0时,max2341043Y,当3时,min123341232Y,综上所述,yx4的取值范围是]4,1[.11.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,3OD,点P为BCD内（含边界）的动点,设(,)OPOCODR,则的最大值等于【答案】43【解析】如图建立直角坐标系．三角形CDB中的点x,y满足不等式组3302301xyxyy．又因为(,)OPOCODR．所以(3,)OP．将3,xy代入可得1032301．由图可知,目标函数z过点1(,1)3A时在轴上的截距最大,即的最大值为43．D(3,0)CB(1,1)OP(x,y)AxyA(13,1)β+α-Z=03β+2α-3=0β+α-1=0α=1βαO12.（2015北京理13）在ABC△中,点M,N满足2AMMC,BNNC.若MNxAByAC,则x；y.【答案】12x,16y【解答】在ABC△中,点M满足2AMMC,点N满足BNNC,则11111132322