组合图形的面积变换.

组合图形的面积变换一、组合图形是由2个或2个以上的简单的几何图形组合而成的，组合的形式分为2种：一拼合组合，二重叠组合，由于组合图形具有条件相“等”的特点，往往使得问题的解决无从下手，要正确解答组合图形的面积，应注意以下几点：1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间概念。2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的。3.适当采用添加辅助线、联想、类比等方法帮助解题。4.采用割、补、分解、代换的方法，可将复杂问题变得简单。二、面积变换的几个常用的理论依据：1.等底、等高的两个三角形的面积相等。2.等底的两个三角形的面积之比等于其高的比。3.等高的两个三角形的面积之比等于其底边之比。4.两平行线间的距离处处相等。三、例题分析：例1.如图16×9m2的长方形草地，中间有2条道路，路宽2m，求草地面积。分析：路宽可移至长方形边界，那么草地看作是(16-2)×(9-2)=98m2例2.如图长方形18×12，长三等分，宽二等分，在长方形内任取一点，连结这一点与等分点及顶点，求阴影部分面积。分析：因为等底等高的两个三角形面积相等，所以例3.如图，正方形ABCD和正方形BEGF，若S△ABE=5，则S△BCF=____分析：正方形可知：AB=BC，BE=BF，∠ABE+∠CBF=180°所以，绕点B旋转△BCF使F点与E点重合，根据同底等高三角形面积相等，可知S△BCF=S△ABE=5例4.如图S△ABC=24，E为AB中点，F为AC的三等分点，且CF=2AF，则S△AEF=__分析：根据等高三角形面积之比是底边的比，连结BF，设△AEF的面积为x，则S△BEF=x所以S△BCF=4x，∴S△ABC=6x=24，∴x=4例5.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，S△DCE=a，S△DCB=3a，则S△ABD=___分析：∵AB∥CD，∴S△ACD=S△BCD∴S△ADE=S△BCE∵S△ADE=S△BCE=S△BCD-S△DCE=2a∴S△BAE=2S△BCE=4a∴S△ABD=6a例6.如图AB和BC是正方形ABCD的邻边，M是AB的中点，N是BC中点，AN和CM相交于O，则SAOCD：SABCD=____分析：因为三角形的三条中线交于一点，且这点到顶点的距离与到这个顶点对边中点距离之比是2：1，所以连结AC、BD相交于P，则点O是△ABC的三条中线交点，所以例7.如图，把△ABC的各边向一方延长，使AA′=AB，BB′=BC，CC′=AC，若S△ABC=1，则S△A'B'C'=____分析：如图：连结A′C，则S△A'CC'=S△A'AC=S△ABC=1即S△A'AC'=2S△ABC=2同理：S△A'BB'=2S△ABC=2S△B'CC'=2S△ABC=2∴S△A'B'C'=7S△ABC=7例8.如图，P为△ABC内任一点，三边a，b，c的高分别为ha，hb，hc，且点P到a，b，c三边的距离分别为ta，tb，tc，那么分析：如图：连结PA、PB、PC同理四、练习题：1.如图长方形ABCD中，E、F分别在BC、AB上，且EF∥AC，图中与△DEC等积的三角形共有___个。2.如图：四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=45°，AD=3，BC=7，则S四边形ABCD=___。3.如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、AC、AB上的点，AD、BE、CF交于△ABC内一点P，且将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出，则图中另2个小三角形的面积之和x+y=___。4.如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以CA、BC、AB为边长的正方形，则图中阴影部分面积的最大值是_____。参考答案：1.3个(S△AEC=S△AFC=S△AFD)2.20延长BA、CD交于点D，则3.91联立得4.9∵∠DAE+∠BAC=180°，∴易证：S△DAE=S△ABC同理S△KBH=S△GCF=S△ABC∴S阴影=3S△ABC所以△ABC是以2和3为直角边的Rt△时面积最大，此时S△ABC=3，∴S阴影=9