垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系

垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系［学习目标］1.理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。2.深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义）3.应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。4.弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。5.圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。6.应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。7.圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。二.重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。【典型例题】例1.已知：在⊙O中，弦AB＝12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：∠AOB的度数和圆的半径。点悟：本例的关键在于正确理解什么是O点到AB的距离。解：作OE⊥AB，垂足为E，则OE的长为O点到AB的距离，如图所示：由垂径定理知：∴△AOE、△BOE为等腰直角三角形∴∠AOB＝90°由△AOE是等腰直角三角形即⊙O的半径为点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。例2.如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a，b。求证：证明：作OE⊥AB，垂足为E，连OA、OC则在中，在中，即即点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。例3.⊙O的直径为12cm，弦AB垂直平分半径OC，那么弦AB的长为（）A.B.6cmC.D.（2001年辽宁）解：圆的半径为6cm，半径OC的一半为3cm，故弦的长度为故选C。例4.如图所示，以O为圆心，∠AOB＝120°，弓形高ND＝4cm，矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上，H、G在上，且EF＝4HE，求HE的长。解：连结AD、OGOA＝OD∴△AOD为等边三角形∵OD⊥AN∴NO＝ND＝4cm∵OD＝OG＝8cm设，则在中，由得：解得：（舍去）∴HE的长为cm点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常用方法。例5.已知，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且，则DC的长为（）A.3cmB.2.5cmC.2cmD.1cm（2001年北京东城区）解：故选C。常见错误：将DC错算为OD，即算出OD就不再计算DC了，从而错选A。这种错误十分常见，一定要注意慎重的计算完全。例6.在⊙O中，，那么（）A.B.C.D.解：如图所示，连结BC。在△ABC中，AB＜AC＋BC∴AB＜2AC故选D。点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。例7.已知⊙O的半径是10cm，是120°，那么弦AB的弦心距是（）A.5cmB.C.D.解：如图所示，，∠AOB＝120°在Rt△ACO中，故选A。点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。例8.等腰△ABC的顶角A＝120°，腰AB＝AC＝10，△ABC的外接圆半径等于（）A.20B.15C.10D.5解：如图所示，连结OA、OB∵AB＝AC＝10由垂径定理的推论，得OA垂直平分BC，垂足为D又∵∠BAC＝120°∴∠ABC＝∠ACB＝30°∴∠BAO＝60°又∵OA＝OB∴△AOB是等边三角形∴半径OA＝OB＝AB＝10故选C。点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路是构造特殊的三角形，然后应用定理解题。例9.点P为半径是5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（）A.2条B.3条C.4条D.5条（2002年山东）解：选C。点拨：圆是中心对称图形，故与P点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有2个。因此，长度为整数弦一共有4条。例10.如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB＝CD。求证：∠AMN＝∠CNM点悟：由弦AB＝CD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M、N分别为AB、CD的中点，如连结OM、ON，则有OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD，故易得结论。证明：连结OM、ON∵O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点∴OM⊥AB，ON⊥CD∵AB＝CD∴OM＝ON∴∠OMN＝∠ONM∵∠AMN＝90°－∠OMN∠CNM＝90°－∠ONM∴∠AMN＝∠CNM点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题。例11.在⊙与⊙中，分别有40°的和，那么：（1）与相等吗？（2）∠与∠相等吗？错解：（1）因为与都是40°的弧所以＝（2）与相等，所以常见错误：（1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必须是在同圆或等圆的前提下，看它们是否“重合”；（2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度数相同的角就相等。可见它不受所对的弧相等与否来制约。正解：（1）不一定相等。（2）相等。【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.选择题。1.下列命题中，正确的命题是（）A.平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦B.平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C.在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CDD.圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径2.已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（）A.2cmB.3cmC.cmD.cm3.弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（）A.10B.26C.13D.54.在直径是10cm的⊙O中，为60°，则弦AB的弦心距是（）A.B.C.D.5.AB、CD分别为大小不同圆的弦，共AB＝CD，那么的关系是（）A.B.C.D.不确定二.填空题。6.已知AB为⊙O直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝____________。7.直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。8.若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形。9.弦AB把⊙O分3：7，则∠AOB＝___________。10.若⊙O半径是4，P在⊙O内，PO＝2，则过P点的最短的弦所对劣弧是___________度。11.⊙O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径OA＝4cm，OP＝2cm，则∠AOB＝__________，∠ADC＝__________，度数为__________，△ADC周长为__________cm。三.解答题。12.如图，⊙O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径。13.已知：如图，C为⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若度数为50°，求的度数。【试题答案】一.选择题。1.A2.D3.B4.D5.D二.填空题。6.3cm7.斜边中点，斜边长8.等腰9.108°10.120°11.120°，30°或60°，60°或120°，三.解答题。12.过O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则得到矩形MHNO又∴Rt△BOM中，13.连结OD、AE则∠DOA＝50°，∠DEA＝25°由OC＝CD，有∠D＝∠DOA＝50°∴∠BCE＝∠D＋∠DOA＝100°∴∠A＝∠BCE－∠AED＝100°－25°＝75°则度数为75°