2.1-数列的概念与简单表示法

第二章数列§2.1数列的概念与简单表示法(1)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为1、考察下面的问题1740，1823，1960，1989，2072，…11111,,,,,2481632问题创设古希腊毕达哥拉斯学派数学家曾研究过三角形数：1，3，6，10，···类似地，1，4，9，16，25，······被称为正方形数。这些数有什么共同特点？一、数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列思考1：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？例如：三角形数1，3，6，10，…正方形数1，4，9，16，…1，2，32，1，33，1，21，3，22，3，13，2，1注意：每个数列中的数都有特定的顺序，但不一定要有特殊的规律.一、数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项.我们常把数列的一般形式写成a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)简记作{an}。例如：若用{an}来表示“2，1，3”这个数列，则a2=____；1思考2：能不能把数列“2，1，3”记为{2，1，3}？不行，{2，1，3}是一个集合，集合中的元素是没有顺序的一、数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项.我们常把数列的一般形式写成a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)简记作{an}。思考3：{an}与an的意思一样吗？{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，….an表示数列{an}中的第n项各项都相等的数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列二、数列的分类：1、以项数来分类：（1）有穷数列：（2）无穷数列：2、以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：（2）递减数列：（3）常数列：（4）摆动数列：项数有限的数列项数无限的数列对任意n∈N*，总有an+1an(或an+1-an0)对任意n∈N*，总有an+1an(或an+1-an0)从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列思考：观察下列数列的特点，用适当的数填空，并猜想这些数列的第n项an是什么？（1）1，，9，16，25，，49，…；（2）2，4，，16，32，，128，…；（3）1，-1，1，，1，-1，，-1，…；436864-111𝑎𝑛=𝑛22𝑎𝑛=2𝑛3𝑎𝑛=(−1)𝑛+1或𝑎𝑛=(−1)𝑛−1三、数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项。例如：an=n2就是数列1，4，9，16，…的一个通项公式注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是_______②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，…③不是每一个数列都能写出它的通项公式。如：1，24，8，3，19121例1、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：变题：4，6，8，10变题：-3，-1，1，3（1）2，4，6，8；（2）1，3，5，7；an=2nan=2n+2an=2n-1an=2n-5变题：5，55，555，5555（4）9，99，999，9999；𝟑𝟏,𝟑𝟒,𝟏𝟐,𝟓𝟏𝟔𝐚𝐧=𝐧+𝟏𝟐𝐧𝐚𝐧=𝟏𝟎𝒏−𝟏𝐚𝐧=𝟓𝟗(𝟏𝟎𝒏−𝟏)（1）-2，2，-2，2；𝟐𝟏,−𝟏𝟐,𝟏𝟑,-𝟏𝟒（3）2，0，2，0；拓展、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：练习：课本P31第1，4题an=(−𝟏)𝒏𝟐an=(−𝟏)𝒏+𝟏𝒏an=(−𝟏)𝒏+𝟏+𝟏小结观察法求通项公式：（1)常见数列：正整数列；奇数列，偶数列，平方数列，三角形数列，（2)分数列：观察分子、分母的特点。（3)指数数列：观察底数、指数的特点。（4)各项符号一正一负：(−𝟏)𝐧或(−𝟏)𝐧+𝟏例1、已知数列{an}的通项公式是an=-n2+4n-1，（1）写出这个数列的前4项；（2）你能判断出这个数列哪一项最大吗？为什么？注意：an=-n2+4n-1可看成以n为自变量的一个函数11412a解：（1），24813a391212a，4161611a（2）∵an=-n2+4n-1=-(n-2)2+3∴当n=2时，an取到最大值3思考：上述数列的通项an=-n2+4n-1与函数f(x)=-x2+4x-1有什么不同？(3)-13是这个数列中的项吗？递增数列：递减数列：对任意n∈N*，总有an+1an(或an+1-an0)对任意n∈N*，总有an+1an(或an+1-an0)例2、已知数列{an}的通项公式为an=n2+n，其中n∈N*，求证{an}是个递增数列。证明：∵对任意n∈N*，an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+20∴{an}是个递增数列四、数列与函数的关系：注意，在数列{an}中项：a1，a2，a3，…，an，….序号：1，2，3，…，n，…从函数的观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的其他表示方法：如：数列2，4，6，…，2n，…列表法，图象法例4、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.（1）（2）（3）（4）𝒂𝒏=𝟑𝒏−𝟏𝒂𝒏=𝟑𝒏−𝟏思考：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起每一项都等于它的前一项的2倍再加1，即an=2an-1+1(n≥2)则该数列的第5项是什么？已知数列{an}的第1项（或前几项），且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式练习：试写出数列1，3，6，10，…的一个递推公式。练习：写出下列数列{an}的前5项（1）a1=5，an=an-1+3(n≥2)；（2）a1=2，an=2an-1(n≥2)；思考：你能否利用上面两题的条件求出数列{an}的通项公式？（1）5，8，11，14，17（2）2，4，8，16，32总结通项公式数列的概念表示方法分类列表图象项数有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列大小函数数列检测反馈1.根据数列的通项公式填表：n1…5……n33……153…3(3+4n)na2169122基础题组2.下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④*C3.在数列1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x应等于（）A．11B．12C．13D．14C提高题组4．已知数列的通项公式它的最小项是（）A.第一项B.第二项C.第三项D.第二项或第三项22103nannnaD5.已知数列，，则.na85,11nakna且17a296.数列11，13，15，…，2n+1的项数是（）A．nB．n-3C．n-4D．n-5C本课结束