正多边形和圆及圆的有关计算

正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理：1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成n（n＞3）等分：（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。正n边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。2、正多边形的有关计算正n边形的每个内角都等于nn180)2(定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。3、画正多边形(1)用量角器等分圆(2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。正五边形的近似作法(等分圆心角)4、圆周长、弧长（1）圆周长C＝2πR；（2）弧长180RnL5、圆扇形，弓形的面积（l）圆面积：2RS；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为：3602RnS扇形注意：因为扇形的弧长180RnL。所以扇形的面积公式又可写为LRS21扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。（4）圆柱和圆锥的侧面展开图a、圆柱的侧面展开图圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。（如图所示）AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD，C’D’，…都叫圆柱的母线。圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。圆柱的两个底面是平行的。圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。∴S侧面=2πRh圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2RR是圆柱底半径，h是圆柱的高。如图所示b、圆锥的侧面展开图圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。如图所示，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。圆锥的侧面展开图如所示是一个扇形SAB半径是母线长，AB是2πR。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=πRL.二、典型例题：1.如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK，12KK，23KK，34KK，45KK，56KK，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2011等于（）A.20112B.20113C.20114D.201162.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为(3)aa的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.2aB.2(4)aC.D.43.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（）.A.3B.6C.5D.44.以数轴上的原点O为圆心,3为半径的扇形中,圆心角90AOB,另一个扇形是以点P为圆心,5为半径,圆心角60CPD,点P在数轴上表示实数a,如图,如果两个扇形的圆弧部分(AB和CD)相交,那么实数a的取值范围是__________.5.已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是m。（结果用π表示）6.如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为___________.7.如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为___________.8.如图3，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为________.9.如图，已知⊙O的半径为2，弦AB⊥半径OC，沿AB将弓形ACB翻折，使点C与圆心O重合，则月牙形(图中实线围成的部分)的面积是__________.10.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．11.阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形．如图，已知正四边形ABCD的外接圆O⊙，O⊙的面积为1S，正四边形ABCD的面积为2S．以圆心O为顶点作MON，使90MON°．将MON绕点O旋转，OMON、分别与O⊙相交于点EF、，分别与正四边形ABCD的边相交于点GH、．设由OEOFEF、、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S．（1）当OM经过点A时（如图①），则12SSS、、之间的关系为：S（用含12SS、的代数式表示）；（2）当OMAB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．三、巩固练习：1.如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连结CE，则阴影部分的面积是________．2.如图所示，A是半径为1的⊙O外一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连结AC，阴影部分的面积为____________.3.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为______．4.在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于.5.已知圆锥的高是30cm，母线长是50cm，则圆锥的侧面积是cm2.6.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2“等边扇形”的面积为_______________.7.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的体积为______________.8.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________．9.如图，扇形OAB，∠AOB＝90°，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB相切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是________．10.如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP.若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为________．11.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB、OD为直径作⊙O1、⊙O2.(1)求⊙O1的半径；(2)求图中阴影部分的面积．12.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.(1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝23，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的图形面积．(结果保留根号和π)13.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B.已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF＝24cm，设⊙O1的半径为xcm.(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？