第6章相似理论与量纲分析12

://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://://第六章相似理论与量纲分析流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的作用。本章将探讨实验研究的理论基础：相似理论量纲分析模型实验的基础进行探索性研究的实验基础水电站模型常见的模型实验飞机模型的风洞实验第一节相似理论为了保证模型流动和原型流动（或称为实型流动）具有相同的流动规律，并能从模型流动预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即保持力学相似关系。力学相似的定义：指模型流动和原型流动在对应点上对应物理量具有一定的比例关系。具体来说，应满足几何相似、运动相似、动力相似。一、力学相似（流动相似）1.几何相似（空间相似）定义：两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。模型流动用下标m表示，原型流动用下标p表示332211llllpmpmpmllp3m3p2m2p1m1，，2lpmAkAAk3lpmVkVVk面积比尺长度比尺pmlllk体积比尺比尺---------模型和原型对应参数的比值2.运动相似（时间相似）定义：两流动在对应时刻对应点上的流体速度方向相同，大小成同一比例。vvvvvvvkpmp2m2p1m1各对应点速度成同一比例，因此相应断面的平均速度必然有同样的比尺vvvvkkpm将tlv代入上式，得tlmppmppmmvkktltltltlvvpmk式中pmtttk称为时间比尺。运动学物理量的比尺都可以表示为长度比尺和时间比尺的不同组合形式。的单位是m2/s加速度比尺速度比尺流量比尺运动粘度比尺kv=klkt-1ka=klkt-2kQ=klkt-3k=kl2kt-13.动力相似（受力相似）定义：两流动的对应部位上同种力方向相同，大小成同一比例。FpkFFGGPPTTpmpmmpmkF称为力的比尺a3laVFkkkkkkFFkpppmmmppmmpmaVaVamam2tlakkk1tlvkkk因为得到2v2lFkkkk力学物理量的比尺也可以表示为密度比尺、长度比尺和速度比尺的不同组合形式2v3lMkkkk力矩比尺压强比尺动力粘度比尺2vpkkkvlkkkk综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时空相似的条件下动力相似。动力相似用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动相似，两个流动必须满足几何相似、运动相似和各相似准则。二、相似准则相似准则：指受力学基本定律限制的比尺之间的约束关系。下面分别介绍单项力作用下的相似准则。1.雷诺(Renolds)相似准则当流动所受粘性力T相似时，满足雷诺相似准则lvdyduATpppmmmvlvlTTpm2p2pp2m2mmFvlvlTTρρkpmppp2p2ppmmm2m2mmvlvlvlvlρρpppmmmlvlvpmReRe上式称为雷诺相似准则，该式表明两流动的粘性力相似时，模型与原型流动的雷诺数相等。vlRe引入雷诺数达朗贝尔原理:流体惯性力I的大小等于流体的质量与加速度的乘积，方向与流体加速度方向相反，即amIRe22vllvvldyduAVadyduAmaTI雷诺数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和粘性力之比2p2pp2m2mmFvlvlGGρρkpm2.弗劳德(Froude)相似准则当流动所受重力G相似时，满足弗劳德相似准则3glgVG3ppp3mmmlglgGGρρpm3ppp2p2pp3mmm2m2mmlgvllgvlρρpp2pmm2mlgvlgv引入弗劳德数glvFr2pmFrFr上式称为弗劳德相似准则，表明两流动的重力相似时，模型与原型流动的弗劳德数相等。弗劳德数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和重力之比。2p2pp2m2mmFvlvlPPρρkpm3.欧拉(Euler)相似准则当流动所受压力P相似时，满足欧拉相似准则2lPppA2pp2mmllPPpppm2p2pp2pp2m2mm2mmvllvllpp2ppp2mmmvpvp引入欧拉数上式称为欧拉相似准则，表明两流动的压力相似时，模型与原型流动的欧拉数相等。欧拉数的物理意义在于它反映了流动中压力和惯性力之比。2vpEupmEuEu或2vpEu注意：欧拉相似准则不是独立的准则，当雷诺相似准则和弗劳德相似准则得到满足时，欧拉相似准则将自动满足。4.斯特劳哈尔(Strouhal)相似准则pmSrSr斯特劳哈尔数vtlSr斯特劳哈尔相似准则表明两流动的时变惯性力相似时，模型与原型流动的韦伯数相等。韦伯数的物理意义在于它反映了流动中时变惯性力和位变惯性力之比。该准则用于非定常流动5.韦伯相似准则pmWWee2lvWeρ韦伯数韦伯相似准则表明两流动的表面张力相似时，模型与原型流动的韦伯数相等。韦伯数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和表面张力之比。6.柯西相似准则pmCaCaK2vCaρ柯西数柯西相似准则表明两流动的弹性力相似时，模型与原型流动的柯西数相等。柯西数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹性力之比。注意：柯西相似准则适用于可压缩液体。7.马赫相似准则pmMaMacvMa马赫数马赫相似准则表明两可压缩气体流动的弹性力相似时，模型与原型流动的马赫数相等。马赫数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹性力之比。c——当地声速动力相似可以用相似准则表示，若原型和模型流动完全动力相似，需满足各相似准则。事实上，不是所有的相似准则之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。如：若满足雷诺相似准则pmReRelvk/kk若满足弗劳德相似准则pmFrFr21lvkk三、近似模型法23lkk若同时满足以上两个相似准则，有1.当模型与原型采用同种流体，温度也相同时，得pmll模型实验已失去了意义2.当模型与原型采用不同种流体，得23lpmk实验用流体很难找到因此，模型实验要做到完全相似是比较困难的，一般只能达到近似相似，也就是说只能保证对流动起主要作用的力相似。近似模型法是指在进行模型设计时，选择合理的相似准则以保证对主要的力学相似。近似模型法的第一种弗劳德模型法：重力占主要地位，通常出现在明渠流、堰流等水利工程中。选取弗劳德相似准则pp2pmm2mlgvlgvpmggp2pm2mlvlv21lvkk近似模型法的第二种雷诺模型法：粘性力占主要地位，通常出现在有压管流、潜体绕流、水力机械内流动中。选取雷诺相似准则pppmmmlvlvpmmppmllvvlvkkk近似模型法的第三种粘性流动中，当雷诺数增大到一定界限后，继续提高雷诺数粘性效果是一样的，称为自动模型化，如圆管流动的阻力平方区。欧拉模型法：处于自动模型区的粘性流动，会自动出现粘性力相似，自动满足欧拉准则。2ppp2mmmvpvp2vpkkk名称比尺雷诺模型法弗劳德模型法kν=1kν≠1流速比尺kvkl-1kνkl-1kl1/2力的比尺kFkρkν2kρkl3kρ流量比尺kQklkνklkl5/2时间比尺ktkl2kν-1kl2kl1/2近似模型法中常见物理量比尺与基本比尺（kl、kν、kρ）之间的关系例1有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设计时速v=108km/h，试用模型实验求出其迎面空气阻力F。（设在风洞内风速为vm=45m/s，测得模型轿车的迎面空气阻力Fm=1500N）解：采用雷诺模型法，Rem=Rep得到kv=kνkl-1kF=kρkl2kv2=kρkν因为模型实验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，kν=1，kρ=1，所以kF=1得到轿车在公路上行驶时迎面空气阻力F=1500N例2已知直径为15cm的输油管，流量0.18m3/s，油的运动粘度νp=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度νm=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流动相似，求水的流量Qm。若测得5m长输水管两端的压强水头差5cmgpmmm，试求100m长的输油管两端的压强差？（用油柱高表示）pppgp解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相似准则pppmmmlvlv因pmll（1kl），上式可简化为pmpmvv流量比尺kkkkkv2lvQ，所以模型中水的流量为3mmpp0.013QQ0.180.018m/s0.13（2）流动的压降满足欧拉准则2ppp2mmmvpvppm2m2pmmmpppggvvgpgp因p20.18v10.19m/s0.154，m20.018v1.019m/s0.154，且pmgg，则5m长输油管两端的压强差为22ppm22ppmmmpvp10.190.055mggv1.019（油柱）100m长的输油管两端的压强差5100100m5（油柱）第二节量纲分析一、量纲分析的基本概念二、量纲和谐性原理三、量纲分析法瑞利法π定理一、量纲分析的基本概念（一）量纲物理量单位的种类称为量纲或因次，如长度量纲L。通常用[x]表示物理量x的量纲。用[]表示物理量的量纲，用（）表示物理量的单位（二）基本量纲导出量纲基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量纲的组合来表示的量纲。流体力学的基本量纲共有四个：长度量纲L、时间量纲T、质量量纲M和温度量纲Θ。对不可压缩流体，则只需L、T、M三个基本量纲。由基本量纲组合来表示的量纲称为导出量纲。任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三个基本量纲的指数乘积来表示，即γβαMTLx当α≠0，β＝0，γ＝0，x为几何学量；当α≠0，β≠0，γ＝0，x为运动学量；当α≠0，β≠0，γ≠0，x为动力学量。[A]=[v]=[Q]=[ν]=[ρ]=[F]=[N]=[μ]=[p]=L2LT-1L3