【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义：第十二讲：一元一次不等式(组)的应用(部分含答

1第十二讲：一元一次不等式（组）的应用一、能力要求：1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。3．能够用分类讨论思想解有关问题。4．能利用不等式解决实际问题二、典型例题1．m取什么样的负整数时，关于x的方程112xm的解不小于－3.分析：解方程得：x=2m+2由题意：2m+2≥-3，所以m≥-2.5符合条件的m值为-1，-22．已知x、y满足22210xyaxya且31xy，求a的取值范围.分析：解方程组01202ayxayx得1325ayax代入不等式，解得21a3．比较231aa和225aa的大小（作差法比大小）解：222222222231253125660,6312560,6312560,63125aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa（1）当即时,（2）当即时,（3）当即时,24．若方程组的解为x、y，且2k4，求x-y的取值范围。分析：用整体代入法更为简单5．k取怎样的整数时，方程组2334kxyxky的解满足00xy.2222222233693344364949649649346386386496kxxyykkxykkxkykkykkykkykkkxkkxkxykkkk解：（1）当＝0时，4=03此时，不满足30=2（2）当0时，由1，得由2，得由4，得把代入2，得0000326038498942,1,1,2kkkkkk原不等式组可化为00－3取整数值为：。6．若2(a-3)＜32a，求不等式54xa＜x-a的解集分析：解不等式2(a-3)＜32a得：a720由54xa＜x-a得（a-5）x-a因为a720所以a-50于是不等式54xa＜x-a的解集为x5aa7．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.不等式102xx的解的过程如下：解：根据题意，得1020xx○1或1020xx○2解不等式组○1，得2x；解不等式组○2，得1x所以原不等式的解为2x或1x请你按照上述方法求出不等式205xx的解.分析：典型错误解法：由不等式205xx得：0502xx或0502xx所以原不等式的解为5x或2x正确解法：由不等式205xx得：0502xx或0502xx所以原不等式的解为5x或2x8．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分4摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为x分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为1y和2y，请算一算，哪种对用户合算．解：1580.4yx20.6yx（1）若12yy则580.40.6xx解得：290x所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。（2）若12yy则580.40.6xx解得：290x所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。（3）若12yy则580.40.6xx解得：290x所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。9．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？原料名称饮料名称甲乙A20克40克B30克20克分析：（1）据题意得：2800100204028001003020xxxx解不等式组，得4020x因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。（2）由题意得：xxy1008.26.2整理得：2802.0xy因为y随x的增大而减小，所以x=40时，成本额最低10．某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？家电名称空调器彩电冰箱工时（个）121314产值（万元/台）0.40.30.25解：设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是x台、y台、z台，设此时的产值为P万元。根据题意得：360(1)111120(2)2340360,0360,40360(3),,均为整数(4)xyzxyxyzxyz由（1）和（2）知1233602xzyz……（5）把（5）代入（3）得：10360230360360240360zzz解得：40240z0.40.30.2Pxyz＝130.40.3(360)0.222zzz＝1080.05z要使P最大，只需z最小当40z时P最大＝108－0.05×40＝106(万元)此时1202xz（台）33603002yz（台）答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？一、【问题引入与归纳】我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。二、【典型例题解析】1、观察算式：(13)2(15)3(17)4(19)513,135,1357,13579,,2222按规律填空：1+3+5+…+99=？，1+3+5+7+…+(21)n？62、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了多少块石子？3、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第n个图案中有白色地面砖多少块？4、观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第n个图形中三角形的个数为多少？5、观察右图，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？（3）某一层上有77个点，这是第几层？（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？6、读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为1001nn，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为501(21);nn又如“333333333312345678910”可表示为1031nn，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：7（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为；（2）计算：521(1)nn=（填写最后的计算结果）。7、观察下列各式，你会发现什么规律？3×5=15，而15=42-15×7=35，而35=62-1……11×13=143，而143=122-1……将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来。8、请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。三、【跟踪训练题】11、有一列数1234,,,,naaaaa其中：1a=6×2+1，2a=6×3+2，3a=6×4+3，4a=6×5+4；…则第n个数na=，当na=2001时，n=。2、将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224…………2826根据上面的规律，则2006应在行列。3、已知一个数列2，5，9，14，20，x，35…则x的值应为：（）4、在以下两个数串中：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（）个。A.333B.3348C.335D.3363、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示）按照这种规定填写下表的空格：4、拼成一行的桌子数123…n人数46…6、给出下列算式：487938572835181322222222观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：7、通过计算探索规律：152=225可写成100×1×（1+1）+25252=625可写成100×2×（2+1）+25352=1225可写成100×3×（3+1）+25452=2025可写成100×4×（4+1）+25…………752=5625可写成归纳、猜想得：（10n+5）2=根据猜想计算：19952=8、已知121613212222nnnn，计算：112+122+132+…+192=；9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？9