【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义：第二讲：代数式的化简求值问题

第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例1．若多项式xyxxxmx537852222的值与x无关，求mmmm45222的值.分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零因为83825378522222yxmxyxxxmx所以m=4将m=4代人，44161644452222mmmmmm利用“整体思想”求代数式的值例2．x=-2时，代数式635cxbxax的值为8，求当x=2时，代数式635cxbxax的值。分析：因为8635cxbxax当x=-2时，8622235cba得到8622235cba，所以146822235cba当x=2时，635cxbxax=206)14(622235cba例3．当代数式532xx的值为7时,求代数式2932xx的值.分析：观察两个代数式的系数2008200712007200720072222323aaaaaaa20082007120072007220072)1(200722007222222223aaaaaaaaaaaaa由7532xx得232xx，利用方程同解原理，得6932xx整体代人，42932xx代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例4．已知012aa，求2007223aa的值.分析：解法一（整体代人）：由012aa得023aaa所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由012aa，得aa12，所以：解法三（降次、消元）：12aa（消元、、减项）20082007120072007)(20072007222222323aaaaaaaaaaa例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050第二年：A公司10200；B公司5100+5150=10250第n年：A公司10000+200(n-1）；B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且bcbcacacababccbbaax，则123cxbxax的值是_______。解：因为abc0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数又因为a+b+c0，所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a0，b0，c0则ab0，ac0，bc0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当b0，c0时，x=0。另：观察代数式bcbcacacababccbbaa，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。规律探索问题：例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线____上，“2008”在射线___________上．（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为__________________________．分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，…观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，归纳得到，这列数可以表示为6n-5因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD上例8．将正奇数按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725ABDCEFO172839410511612根据上面规律，2007应在A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数：3，11，19，27，规律为8n-5因为2007=250×8+7=251×8-1所以，2007应该出现在第一列或第五列又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，所以2007应该在第251行第5列例9．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使kn2为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169，169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，所以，结果是8。三、小结用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。26134411第一次F②第二次F①第三次F②…