数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)

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..word版本高中平面几何叶中豪学习要点几何问题的转化圆幂与根轴P’tolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel点垂足三角形与等角共轭反演与配极,调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1.四边形ABCD中,AB=BC,DE⊥AB,CD⊥BC,EF⊥BC,且sin1tansin2。求证:2EF=DE+DC。(10081902.gsp)γθFEBCAD..word版本2.已知相交两圆O和O'交于A、B两点,且O'恰在圆O上,P为圆O的AO'B弧段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证:PQ2=PA×PB。(10092401-1.gsp)QBOO'AP3.设三角形ABC的Fermat点为R,连结AR,BR,CR,三角形ABR,BCR,ACR的九点圆心分别为D,E,F,则三角形DEF为正三角形。(10082602.gsp)FEDRABC4.在△ABC中,已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E,点A关于D、E的对称点分别为F、G,△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。求证:AP//BC。(10092102.gsp)PGFEDABC..word版本5.圆O1和圆O2相交于A、B两点,P是直线AB上一点,过P作两圆作切线,分别切圆O1和圆O2于点C、D,又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E,F。求证:AB、CE、DF共点。(10092201.gsp)EFDCBO1AO2P6.四边形ABCD中,M是AB边中点,且MC=MD,过C、D分别作BC、AD的垂线,两条垂线交于P点,再作PQ⊥AB于Q。求证:∠PQC=∠PQD。(10081601-26.gsp)QPMABDC7.已知RT△ABD∽RT△ADC,M是BC中点,AD与BC交于E,自C作AM垂线交AD于F。求证:DE=EF。(10083001.gsp)EFMCABD..word版本8.在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,E是△ABC外一点,满足CE⊥AB,BE=BD。过线段BE的中点M作直线MF⊥BE,交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。求证:ED⊥DF。(2010年女子竞赛)(10081601-4.gsp)FMEDABC9.设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆,D、E、F分别是切点,若I1D与EF交于P点。求证:AP平分底边BC。(10082001-8.gsp)MPFEDI1ABC10.如图,⊙O切△ABC的边AB于点D,切边AC于点C,M是边BC上一点,AM交CD于点N.求证:M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。(09031302.gsp)NMDCOAB11.已知:BC是圆上的定弦,而动点A在圆上运动,M是AC中点,作MP⊥AB..word版本于P。求P点的轨迹。(10081601-4.gsp)PMOBAC12.△ABC外接圆为圆O,P为AB上一点,过P分别作OA、OB的垂线,与AC、BC交于S、T,与AB交于M、N。求证:PM=MS的充要条件是PN=NT。(10081601-3.gsp)SMNTOABCP13.在ΔABC中AC>BC,F是AB的中点,过F作它的外接圆直径DE,使得C、E在AB同一侧,又过C做AB的平行线交DE于L。求证:(AC+BC)2=4DL×EF。(09011003.gsp)LDEOFCAB..word版本14.已知:P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F。求证:(BC/PD)=(AC/PE)+(AB/PF)。(09012201-7.1.gsp)FEDABCP15.已知O是△ABC的外心,M是BC边中点,D是OM延长线上一点,满足DO=DB,E、F分别是AB、AC边上的点,满足∠MEA=∠MFA=∠A。求证:AD⊥EF。(10080302.gsp)FEDMOABC16.已知△ABC中,AB=AC,线段AB上有一点D,线段AC延长线上有一点E,使得DE=AB。线段DE与△ABC的外接圆交于点T,P是线段AT延长线上的一点。求证:点P满足PD+PE=AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。(2000年国家集训队)(10082201-1.gsp)PTECABD..word版本17.已知△ABC中,内心I关于BC边中点M的对称点为I',S是BC弧(不含A点)中点,直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证:P点到△ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。(10082201-5.gsp)PI'SMIABC18.在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB,联结AD、BE、CF。求证:AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。(10081601-2.gsp)EFABCD19.过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、F、G、H、I、K,过O作△ABC的外接圆的弦AL。求证:OE·OF+OG·OH+OI·OK=OA·OL。(09042002.gsp)KIHGFELABCO..word版本20.一小圆内切大圆于点N,BA、BC是大圆的两条弦,且分别切小圆于K、M,劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P,又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。求证:BPB1Q为平行四边形。(10082001-1.gsp)B1PQCAKMNB21.圆O与圆O1、圆O2同时相切,切点为S、T,圆O1与圆O2交于A、B两点,且圆O2的圆心恰在圆O1上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点,联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。求证:PQ与圆O2相切。(40届IMO)(10082001-12.gsp)BADCURQPOSTO1O222.设KL、KN是圆O的切线,M是KN延长线上一点,过K、L、M三点的圆与圆O交于P,作NQ⊥LM于Q。求证:∠MPQ=2∠NML。(98年伊朗竞赛)(10081601-5、6.gsp)(09022203.gsp)QPKONLM23.设△ABC内接于圆O,过O作OE⊥BC交圆O于E,交AB于F,交AC延长线..word版本于G。过G作圆O的切线GT,T为切点。求证:TF⊥GE。(10092104.gsp)TGFEOABC24.已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF,M是EF上一点,联结BM延长交圆O于C。求证:AC//PEF的充要条件是M为EF中点。(10092401-6.gsp)MCEAOBPF25.过点P任作圆O的两条割线PAB、PCD,直线AD与BC交于Q,弦DE//PQ,BE交PQ延长线于M。求证:OM⊥PQ。(10092103-1.gsp)MEQCAOBPD26.如图,设⊙O1与⊙O2交于AB两点。AC是⊙O2的切线,交⊙O1于C点。AD是⊙O1的切线,交⊙O2于D点。过A任作直线,交⊙O1、⊙O2及经过A、C、D..word版本三点的圆分别于M、N、P。求证:AM=NP。(10091002-6.gsp)PNDCBO1AO2M27.两圆圆O1和圆O2相交于M、P,过M作圆O2的切线交圆O1于A;又过M作圆O1的切线交圆O2于B,在直线MP上截取PH=MP。求证:四边形MAHB内接于圆。(10091002-1.gsp)HBAPO1MO228.已知两个半径不等的圆O1和圆O2相交于M、N两点,且圆O1和圆O2分别与圆O内切于S、T两点。求证:OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点共线。(1997年全国联赛)(10090301-3.gsp)NMOSO1TO229.设以O为圆心的圆经过△ABC的两个顶点A和C,且与边AB、BC分别交于K和N,又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。求证:∠OMB=90°。..word版本(1985年IMO)(10090301-1.gsp)OMNBACK30.已知:在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,直线AB与CD交于点P,△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。求证:OQ⊥PQ。(09022301.gsp)QPOACBD31.已知半圆圆心为O,直径为AB,一直线交半圆于C、D,交AB延长线于P,设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证:OM⊥MP。(10091001.gsp)MCOPBD32.凸四边形ABCD内接于圆O,两组对边所在直线分别交于点E、F,对角线AC、BD交于G,作GH⊥EF于H,圆O的弦MN经过G点。求证:GH与圆O交点恰..word版本是△HMN的内心。(10092103-2.gsp)NHGFEOABCDM33.⊙O为△ABC的外接圆,P为劣弧AB上一点,E、F分别为AC、AB延长线上的点,BE、CF交于D,PE、PF分别交⊙O于S、R。若AD、BC、RS共点,求证:点D在⊙O上。(10090801.gsp)(10092103-8.gsp)RSDABCPEF34.已知:D、E、F分别在△ABC三边上,满足EB=ED,FC=FD,O是△ABC外心。求证:A、E、O、F四点共圆。(09033102.gsp)OFEABCD35.如图,设N是△ABC的BAC弧中点,M是BC边中点,I是△ABC的内心。求证:∠ANI=2∠IMC。(09021701.gsp)..word版本NIMABC36.设T为△ABC的内切圆与BC边的切点,D为BC上任一点,I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心。求证:TI1⊥TI2。(10081701-9.gsp)I1I2TCBAD37.矩形ABCD中,AB=2AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点,PC、PD分别交AB于F、E。求证:AE2+BF2=AB2。(09013001.gsp)EFDCABP38.AB是圆O的直径,P是过B所作切线上的任一点,过P作圆O的割线PCE,联结直线PO分别交AC、AD于E、F。求证:OE=OF。(10081001-4.gsp)..word版本FECOABPD39.自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD,自C作PA的平行线,分别交AB、AD于E、F。求证:CE=EF。(10081001-5.gsp)FECABODP40.A为圆O上一点,B为圆外一点,BC、BD分别相切圆O于C、D,DE垂直AO于E,DE分别交AB、AC于F、G。求证:DF=FG。(09042001.gsp)KGFECDOAB41.P为圆外一点,PA、PD为切线,PCE为割线。过D作PA的平行线,分别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证:D为BF中点。(09031302.gsp)..word版本FBCDAOPE42.已知P、Q是等腰三角形ABC(AB=AC)内两点,满足∠ABP=∠QCB,且∠ACP=∠QBC。求证:A、P、Q三点共线。(10090101-1.gsp)QBCPA43.已知锐角△ABC中,AD是高,O是外心,AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P,自P作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F。求证:DEPF是平行四边形。(10091701.gsp)DFEPOABC44.已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点,M是EF的中点,自E分别作BC、AD的垂线,垂足记为P、Q。求证:MP=MQ。(10091701-1.gsp)..word版本MQPFEABCD45.AD为△ABC内角平分线,I1、I2为△ABD、△ACD的内心,以I1I2为底向BC边作等腰△EI1I2,使得∠I1EI2=12∠BAC。求证:DE⊥BC。(10081701-1.gsp)EI1I2DABC46.已知P是凸四边形内一点,满足∠PAB=∠CAD,∠PCB=∠ACD。求证:PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。(2004年IMO)(10091701-6.gsp)(09030801.gsp)PABCD47.已知D是△ABC底边BC上任一点,P是形内一点,满足∠1=∠2,∠3=∠4。求证:(PB/PC)=(AB/AC)。(09030801.gsp)..word版本4321PABCD48.已知:D是△ABC的BC中垂线上一点,I1、I2是△ABD、△ACD的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