人教版数学必修五

1人教版数学必修五第一章解三角形重难点解析第一章课文目录1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例1．3实习作业【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。【难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。【要点内容】一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（R为△ABC外接圆半径）1．直角三角形中：sinA=ca，sinB=cb，sinC=1即c=Aasin，c=Bbsin，c=Ccsin．2∴Aasin=Bbsin=Ccsin2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=AbcBacCabsin21sin21sin21两边同除以abc21即得：Aasin=Bbsin=Ccsin证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴RCDDaAa2sinsin同理Bbsin=2R，Ccsin＝2R证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB两边同乘以单位向量j得j•(AC+CB)=j•AB则j•AC+j•CB=j•AB∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A)∴AcCasinsin∴Aasin=Ccsin同理，若过C作j垂直于CB得：Ccsin=Bbsin∴Aasin=Bbsin=Ccsin正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:abcOBCAD3⑴若A为锐角时:)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba⑵若A为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解ba2、余弦定理余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222若用三边表示角，余弦定理可以写为余弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．注意：babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH4在（0，π）范围内余弦值和角的一一对应性．若cosA＞0．则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2-2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．4、三角形的有关定理：内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,cos2C=sin2BA,sin2C=cos2BA面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS=pr=))()((cpbpapp(其中p=2cba,r为内切圆半径)射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA5、求解三角形应用题的一般步骤：（1）、分析题意，弄清已知和所求；（2）、根据提意，画出示意图；（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；（4）、正确运用正、余弦定理。【典型例题】例1已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000解：0030,45,10CAc∴00105)(180CAB5由CcAasinsin得21030sin45sin10sinsin00CAca由CcBbsinsin得25654262075sin2030sin105sin10sinsin000CBcb例2在CAacBbABC,,1,60,30和求中，解：∵21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb00090,30,,60,BCCBCBcb为锐角，∴222cba例3CBbaAcABC,,2,45,60和求中，解：23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,sin或CcaAc1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75,13CBb00120,15,13CBb例4已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用6正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDCBCABDADABDABsinsin,sinsin，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD内，利用正弦定理得：ABDADBADABABDADADBABsinsinsinsin即在△BCD内，利用正弦定理得：.sinsin,sinsinDBCBDCDCBCDBCDCBDCBC即∵BD是B的平分线.∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sin∴CDBCDBCBDCABDADBADABsinsinsinsin∴DCADBCAB评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.例5在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．解：由正弦定理得：sinA=23245sin3sinbBa,因为B=45°90°且ba,所以有两解A=60°或A=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°，c=22645sin75sin2sinsinBCb,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°，c=22645sin15sin2sinsinBCb思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．例6△ABC中，若22tantanbaBA，判断△ABC的形状。7解一：由正弦定理：BABAAAABBA2sin2sinsinsincosAcosBsinsincossincossin22即：∴2A=2B或2A=1802B即：A=B或A+B=90∴△ABC为等腰或直角三角形解二：由题设：22222222222222sincoscossinbaRbbcacbacbcaRabaBABA化简：b2(a2+c2b2)=a2(b2+c2a2)∴(a2b2)(a2+b2c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形．思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手．例7在ΔABC中，已知Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，b=1,求证：1a+c≤2.解：由正弦定理:CcBbAasinsinsin,得a+c=Bbsin(sinA+sinC)=232(sinA+sinC)=332[sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30°)，因为0°A120°，所以30°A+30°150°,故12sin(A+30°)≤2.法二．∵B=60°,b=1，∴a2+c2-b2=2accos60°,∴a2+c2-1=ac,∴a2+c2-ac=1,∴(a+c)2+3(a-c)2=4,∴(a+c)2=4-3(a-c)2.∵0≤a-c1∴0≤3(a-c)23,∴4-3(a-c)2≤4,即(a+c)2≤4,a+c≤2a+c1,1a+c≤2．思维点拨：边角互化是解三角形问题常用的手段．例8已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有BbaCARsin2sinsin222成立，求△ABC面积S的最大值．解：由已知条件得baBRBAR2sin2sinsin2222．即有2222babca，又222cos222abcbaC∴4c．∴BARabCabSsinsin44242sin212BABARcoscos222BARcos22222．8所以当A=B时，2max212RS．思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．例9在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南)102arccos(方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。解：(一)如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心),(yxP的坐标为.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是222)]([)()(tryyxx，其中10)(trt+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222tyx即,)6010()22201027300()2220102300(222ttt即0288362tt，解得2412t.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭解(二)设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则6010tOQ由余弦定理知OPQPOPQPOPQOQcos2222由于PO=300,PQ=20t5445coscosOPQ故222222300960020cos2tttOPQPOPQPOPQOQ9因此22226010300960020tttt解得2412t例10如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C