数列求和专题复习

nnaaaaS..........321数列求和王宝洲1.全面考查，突出主干；2.起点低、坡度缓、难度散；3.基本知识、基本技能、基本思想方法；4.多角度、多维度、多层次；5.注重交汇，能力立意，突出逻辑思维能力；6.试题比较稳定，规律明显，适度创新,稳中求新,稳中求变；7.思维能力的考察，多考想，少考算，较好地实现了命题区分度，没有出现偏、难、怪的试题,但考生想拿高分并不容易．2011--2015年全国理科卷考点分布统计表题号考点分布选择题201120122013（Ⅰ）2013（Ⅱ）2014（Ⅰ）2015（Ⅰ）1复数集合集合集合集合复数2三角函数的性质计数原理复数复数复数三角函数3算法的程序框图复数分层抽样等比数列函数的奇偶性简易逻辑4古典概型椭圆的离心率双曲线的离心率立体几何（线面）双曲线的性质二项分布5三角函数的诱导公式等比数列算法的程序框图二项式定理古典概型双曲线与向量6三视图算法的程序框图立体几何（球）算法的程序框图三角函数的定义九章算术-体积计算7双曲线的离心率三视图等差数列三视图算法的程序框图平面向量8二项式定理双曲线与抛物线三视图对数运算三角恒等变换余弦函数图像与单调性9定积分三角函数的性质二项式定理线性规划线性规划程序框图10简易逻辑函数的图象直线与椭圆的位置关系函数与导数抛物线的定义二项式定理11三角函数的性质立体几何（体积）函数与导数抛物线导数组合体的三视图12函数的图象函数与导数数列与不等式函数与几何三视图函数与导数填空题13线性规划平面向量平面向量平面向量二项式定理函数的奇偶性14椭圆的标准方程线性规划数列古典概型推理圆与椭圆15立体几何（体积）概率与正态分布三角函数的性质三角恒等变换平面向量线性规划求斜率16解三角形数列、递推关系高次函数与二次函数数列（前n项和）正余弦定理解三角形解答题17数列通项与前n项和公式解三角形解三角形解三角形等差数列、递推关系等差数列裂项求和18立体几何（垂直与二面角）统计（离散型随机变量）立体几何立体几何统计（正态分布）立体几何19统计（离散型随机变量）立体几何统计（离散型随机变量）统计（离散型随机变量）立体几何统计（回归分析）20解析几何（抛物线）解析几何（圆、抛物线）解析几何（圆、椭圆）解析几何（椭圆）解析几何（椭圆）解析几何（抛物线）21函数与导数函数与导数函数与导数函数与导数函数与导数函数与导数（零点个数三选一题22几何证明选讲几何证明选讲几何证明选讲几何证明选讲几何证明选讲几何证明选讲23坐标系与参数方程坐标系与参数方程坐标系与参数方程坐标系与参数方程坐标系与参数方程坐标系与参数方程24不等式选讲不等式选讲不等式选讲不等式选讲不等式选讲不等式选讲考点分布题号201120122013（Ⅰ）2013（Ⅱ）2014（Ⅰ）2015（Ⅰ）2011--2015年全国理科卷考点分布统计表数列求和部分以考查数列求和的方法为重点，与数列的性质相结合，是每年高考中的热点内容.考查的题型以选择和解答题为主，难度中等.求和的方法，裂项相消和错位相减法，是考查的重点.知识回顾1.等差数列前n项和公式2.等比数列前n项和公式3.数列求和的常用方法dnnnaaanSnn2)1(2)(11)1()1(11)1({111qnaqqqaaqqaSnnn公式法倒序相加法分组求和法裂项相消法错位相减法并项求和法典例精析例1.求下列数列各项之和）（12......531（1）n-n2.......8421（2）.______,,}{}{1397532TSbaTSnbannnn则已知与项和为的前、等差数列13622222)121(nnnn解：原式1221)21(111nn解：原式公式法求和要熟记两类数列的前n项和公式，分清首项a1,末项an,公差d,公比q;等差数列要根据具体情况选择适当的公式，等比数列要注意公比q是否为1；求和时注意搞清项数n.典例精析.,212}{.2项和求它的前的通项公式已知数列例nnaannn.])([])([)(])([))(......()......())(......()())(......()()()(......121211211212211211211321221212121212123222122122112213221222112221321321321nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaS，则项和为的前解：设数列nnSna}{.)()()()......()......()......()()()()(......nnnnnnnnnnnnnnnnS212221121211211212121212121321212132122112181341221123232.......1614,813,412211项和的前，，求数列n则项和为的前设所求数列解,:nSn分组求和法若数列的通项公式为，数列中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般采用分组求和法，两个数列使用等差、等比数列求和公式分别求和.}{ncnnnbac}{}{nnba与典例精析)1(1......431321211.3nnSn求和例)()(......1111431321211nnnnSn解：)()(......)()()(11111141313121211nnnn111111111141313121211nnnnnnn......)13)(23(1......1071741411.1nnSn求和))(())((......13231235311071741411nnnnSn解：)......()()(......)()()(131231231531101717141411311312313123153131101713171413141131nnnnnnnn1313331131131nnnnn)(裂项相消法若数列的每一项都可以化成两项之差，并且前一项的减数与后一项的被减数相同，求和时中间项相互抵消，这种求和方法称作裂项相消法.常用的裂项公式典例精析nnnSnna项和求它的前已知数列例,2)12(.4）（2122112252321）（212211225232114321322)(]-)([......21)(]-)([......nnnnnnnnSnnS解：.2)3-2(62)23(62)12(2262)12()12(221111113nnnnnnnnSnnn故：11213213221221212222122222221222222221-nnnnnnnnnnS)()()(-)......()(-......-(2)(1)得：.,212.2nnnSnna项和求它的前已知数列错位相减法）（）（221)12(21]1-)1(2[......21521321121121)12(21]1-)1(2[......2152132111432132nnnnnnnnSnnS解：.232323223212242321)12(2112111111nnnnnnnnSnnn故：1111213221)12(211)211(212121)12(-)21......2121(2121)12(-212......21221221121nnnnnnnnnnS得：(2)-(1)若数列的通项公式为，数列中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时可在所求和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，再将原和式与新和式相减，转化为一个等比数列求和。这样的求和方法称作错位相减法.}{ncnnnbac}{}{nnba与高考真题体验121.(2015·福建)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，由已知得a1＋d＝4，a1＋3d＋a1＋6d＝15，解得a1＝3，d＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.12(2)设bn＝＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.解由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝21－2101－2＋1＋10×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.22na122.(2014·课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.(1)求{an}的通项公式；解方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝12，从而a1＝32.所以{an}的通项公式为an＝12n＋1.12(2)求数列{an2n}的前n项和.解设{an2n}的前n项和为Sn.由(1)知an2n＝n＋22n＋1，则Sn＝322＋423＋…＋n＋12n＋n＋22n＋1，12Sn＝323＋424＋…＋n＋12n＋1＋n＋22n＋2.12两式相减得12Sn＝34＋(123＋…＋12n＋1)－n＋22n＋2＝34＋14(1－12n－1)－n＋22n＋2.所以Sn＝2－n＋42n＋1.解析∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝2＋nn－12，即an＝nn＋12，令bn＝1an，故bn＝2nn＋1＝21n－1n＋1，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝21－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.答案20111.等差与等比数列的前n项和公式2.数列求和的常用方法