数列求和的基本方法和技巧

•数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面谈谈数列求和的基本方法和技巧.一.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnnaannSnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq123n2222123n3333123n1(1)(21)6nnn2(1)2nn1(1)2nn例1：求和：1.468+2n+2……（）231111212222n.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既{anbn}型等差等比2．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.【错位相减法】设{an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①∴2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝21－2n1－2－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1∴Sn＝(n－1)·2n+1＋2[例4]求数列前n项的和,22,,26,24,2232nn解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积nn22n21设…………………………………①nnnS222624223214322226242221nnnS………………………………②（设制错位）1432222222222222)211(nnnnS1122212nnn①－②得∴1224nnnS2020/3/149已知数列.}{,)109()1(nnnnSnana项和的前求2020/3/1410解：第一步，写出该数列求和的展开等式nnnnnS1091109......109410931092132第二步，上式左右两边乘以等比数列公比109nS10914321091109...109410931092nnnn2020/3/1411第三步，两式进行错位相减得：1321091109......1091091092101nnnnS化简整理得:1109111099nnnS解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设………②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴[例3]求和：………①132)12(7531nnxnxxxS1)12(nxn1nxnnxnxxxxxS)12(7531432nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432nnnxnxxxSx)12(1121)1(121)1()1()12()12(xxxnxnSnnn变式训练4已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解(1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn，∴Sn＋1Sn＝3.又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn＝3n－1(n∈N*)．当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，∴an＝1，n＝1，2·3n－2，n≥2.(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，①3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，②①－②得：－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝2＋2·3(1－3n－2)1－3－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1.∴Tn＝12＋n－123n－1(n≥2)．又∵T1也满足上式，故Tn＝12＋n－123n－1(n∈N*)．点评本题在求前n项和时，要注意通项公式中分n＝1和n≥2构成分段函数，因此求和时也要分类讨论求和，并检验n＝1是否满足前n项和公式．2020/3/1423项和。前求数列nnann.2341、2、已知数列)0()12(,,5,3,112aanaan求该数列的前n项和。四、分组法求和•有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}＋一个等比{2n}，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法,+n11.求数列+23,+的前n项和。,222,32n2+123n解：=(1+2+3+…+n)Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+)2232ｎ2+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分组求和法例5.求下面数列的前n项和111112,4,6,,248162nn解（1）：该数列的通项公式为1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462)()482nn111(22)421212nnn111(1)22nnn题型二分组转化求和例2求和Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋12n－1.思维启迪：数列的通项an＝21－12n，求Sn可用分组求和法．解ak＝1＋12＋14＋…＋12k－1＝1－12k1－12＝21－12k.∴Sn＝21－12＋1－122＋…＋1－12n＝2[(1＋1＋…＋1)－(12＋122＋…＋12n)]＝2n－121－12n1－12＝12n－1＋2n－2.n个[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设kkkkkkak2332)12)(1(nknkkkS1)12)(1()32(231kkknk∴＝将其每一项拆开再重新组合得Sn＝kkknknknk1213132（分组）)21()21(3)21(2222333nnn2)2()1(2)1(2)12)(1(2)1(222nnnnnnnnnn例6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21五.相间两项成等差等比综合∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n奎屯王新敞新疆·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),则an=_______解:n=m=1时，a2=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1时,由an+am=an+m得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_____________解：n=m=1时，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1时,由bnbm=bn+m得bn+1=bn·b1=2bn，故{bn}是首项为b1=2，公比为q=2的等比数列，bn=2·2n-1=2n2n练习列项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）1{}(1)1111223(1)nnnnn例1：求数列的前n项和S1{}3,2nnaadS12n变式：等差数列中，111为前n项和，求SSS求数列前n项和方法之一：裂项相消法1．特别是对于，其中是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用(其中d＝an＋1－an)．canan＋1{}ancanan＋1＝cd1an－1an＋1常见的拆项公式有：111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.5nnnnnnn)(11.4bababa常见的裂项公式有：16.11nnnn221117.1212122121nnnnn练习：求和裂项法求和13)1311(31)]131231()7141()411[(31)13)(23(1741411nnnnnnn)13)(23(1nn31)131231(nn提示：∴)13)(23(11071741411nn.11321211:3的值求练习nnSn11nnan解：设nn11111321211nnnnSn)1()1()23()12(nnnn11n11211nnnnan12nnnaab[例9]]在数列{an}中，，又求数列{bn}的前n项的和解：∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn（裂项）∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn)111(8n18nn＝＝题型三裂项相消法求和例3已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.解(1)∵S2n＝anSn－12，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－12，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得1Sn－1Sn－1＝2，∴数列1Sn是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列．∴1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝12n－1.(2)又bn＝Sn2n＋1＝1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.5．(2013·宁波模拟)数列{a