初中数学解题与析题

•初中数学解题与析题浅谈分析解题思路，总结解题方法•通过典型例题,落实基础知识,揭示解题方法、技巧，归纳总结解题规律，提出注意问题，提高分析水平，拓展解题思路，培养解题的灵活性和思维的发散性。典例例1、（2000年上海市中考试题）如图，在半径为6，圆心角为90º的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G。（1）当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。CD223CDCH例2、（2008年广州市中考试题）如图2，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形（2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证：是定值典例方法一利用三角形的中位线与勾股定理N方法二利用相似三角形与勾股定理M方法三利用三角形面积与勾股定理K方法四利用三角函数与勾股定理证明圆中线段相等的几种策略在学习了圆的知识后，在证明线段相等的方法上，增添很多新的思路和策略，如运用同圆（等圆）的圆心角相等、圆周角相等的方法来解决，也可以运用垂径定理来证明。除此之外我们对一些比较复杂的圆中线段相等的证明题，还需要运用中间媒介过渡才能达到目的。本文以近年来的竞赛题为例，浅析如何运用中间媒介来证明圆中线段相等的几种策略。一、以等比为媒介例1、如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，BC＝AB，OC交于⊙O于点F，直线AF交BC于E.求证：BE＝CF。（2005年全国初中数学竞赛四川赛区初赛）例2、如图2，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD。过点D作DE⊥AB于点E，连结AC与DE交于点P.问EP与PD是否相等？证明你的结论.（2003，“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛）F二、以线段的表达式为媒介例3、如图3，过圆外一点P，作圆的两条切线PA、PB，A，B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于C、D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于E、F.求证：BE＝BF。三、以等积为媒介ABAEAFACADAE例4、如图4，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于点F，若求证：（2005年全国初中数学竞赛）四、以比例式为媒介例5、如图5，AB为⊙O的直径，非直径的弦CD⊥AB，E是OC的中点，联结AE并延长交⊙O于点P，联结DP交BC于点F。求证：BF=CF。（2007年四川省初中数学竞赛题）五、以四点共圆为媒介例6、过⊙O外一点A引圆的割线ABC，交⊙O于B、C；过B、C分别引圆的切线BD、CE；过A作直线XY⊥OA，交BD，CE于D，E，求证：BD=CE。123六、以著名定理为媒介例7、如图7，在△ABC中，AB＞AC,它的内切圆切边BC于点E，联结AE交内切圆于点D（不同于点E）。在线段AE上取不同于点E的一点F，使得CE=CF，联结CF并延长交BD于点G。求证：CF=FG。图7DFGNCKEMBA七、练习题1、若⊙O内切于△ABC之BC、CA、AB于D、E、F，过E作BC的平行线分别交AD于G，交DF于H，求证：EG=GH。LK2、（1999年黄冈市初中数学竞赛）图8KFMEGODCBA如图8，已知⊙O是△ABC的外接圆，D为劣弧BC的中点，E为劣弧AB的中点。连接AD，交CE于点G，延长CE到点M，使ME=EG，延长DA到K，使AK=AG，CA的延长线交MK于点F。求证：（1）∠MGK=∠MKG；（2）ME=MF。3、2002年我爱数学初中生夏令营数学竞赛图9FHOGEBCADP如图9，设AB、CD为⊙O的两直径。过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线PE与⊙O分别交于E、F两点，连结AE、AF分别与CD交于G、H两点。求证：OG=OH。4、（2002年太原市初中数学竞赛）图10EOFPCBAD如图10，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD，垂足为E，BE交⊙O于F，AF交CE于P。求证：PE=PC。5、（2003年四川省初中数学竞赛）图11PGFEDCBA如图11，P是平行四边ABCD的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、F，EG是过B、F、P三点的圆的切线，G为切点。求证：EG=DE。平面几何复习课的选题新课程下的平面几何复习课，要充分体现新课程的基本理念，把握新中考对平面几何试题的变化和考试要求，关注平面几何教学的本质，结合学生的实际和复习课的特点。在了解学生、钻研教材、研究中考的基础上，重点抓好复习课的选题。选择精彩的例题，并辅之以科学的教学方法，往往是提高平面几何复习课有效性的关键。针对上述情况，在复习过程中我从以下六个方面来编选例题。一、选题要面向全体学生，根据学生的不同需求，体现层次性原则。复习课要面对每一个有差异的个体，适应每一个学生的不同发展的基础，要为每一个学生提供不同的发展的机会和可能，使不同的人在数学上得到不同的发展。ABOCABC8cmAB3cmOC1.1（2008福建福州）如图，是⊙O的弦，于点，若，，则⊙O的半径为cm．COBA1.2如图（2），己知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的任意一点，则OP的取值范围是。（2005年贵阳市中考试题）1.3如图（2），己知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是A、2个B、3个C、4个D、5个弦AB上的一动点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（）1.4如图（2），己知AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，若AB=10cm，PB=4cm,OP=5cm，则⊙O的半径等于cm。（2005年天津市中考试题）这组题目以课本例题为基础，由易到难，层次分明。它既复习了圆中的垂径定理的基本性质，又训练了学生的基本技能和培养了学生的思维能力。这组题目的第3、4题对基础差的学生来说有一定的困难，无从着手。如果先安排第1、2两题的训练，并逐步引伸，这样使学生从中得到启发，使问题得以解决。二、选题中，应加强熟练巩固定理，灵活应用基础知识，体现针对性原则。2.1已知如图（3）：AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证BC=CD。4321DC(3)BA2.2如图（4），在△ABC中，已知M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于N，AB=10，AC=16，求MN的长。NMDC(4)BA2.3如图（5），BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，AE=3，CD=25和直径BC的长。，求弦ABOGEDC（5（BA2.4如图（6），梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=7，AB=6，且AB⊥AC，则对角线BD的长是（）。A、11B、12C、95D、以上都不对E321DC（6（BA等腰三角形的性质定理和判定定理是平面几何中的重要内容，它的应用比较基础和广泛。通过这组题的学习，加强熟练巩固对等腰三角形的性质定理和判定定理的理解和应用，并在教学中教师通过这组题让学生理解等腰三角形具有“顶角的平分线垂直平分底边”的性质，反过来，“若在三角形中一个角的平分线垂直于对边，则这个三角形为等腰三角形”。三、在选题时，要发挥基本图形的运用功能，体现代表性原则。复杂的几何图形，往往是由一些基本图形复合而成，掌握了基本图形的构成、形式及其性质，就能从复杂图形中解脱出来，从而使平面几何证明顺利完成，下面就以“相似形”为例，谈谈基本图形在解题中的应用。3.1如图11，在△ABC中，AD:DC=1:3，DE:EB=1:1，则BF:FC=（）（美国犹太州数学竞赛题）A、1:3B、1:4C、2:5D、2:753233.2如图12，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于F，则AF:FD的值是（）。（湖北省黄冈初中数学竞赛题）A、2B、C、D、1•1、如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（）（2006年青海省中考题）•A2：1B3：1•C3：2D4：3思考题FGEDCBA方法与思路:FGEDCBAHFGEDCBAMFGEDCBA四、选题要选一些一题多解、一题多变的题目，体现灵活性原则在解某些几何问题时，只要正确审题，根据条件和结论从不同的角度去分析、思考、联想，必能突破思维障碍，得以不同思路下的多种解法。引导学生对几何问题进行变式或深化推广引申、创新，让学生进行多角度、多方面的发散思考，培养学生思维的灵活性。4.1已知：点C和D点在AB两侧，且∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，（1）如图13，EC与ED是什么关系？为什么？（2）当点C和D在AB同侧时，上述结论是否成立？为什么？（3）如图14，连结CD，并且点F是CD的中点，EF和CD具有怎样的位置关系？为什么？（4）当点C和D点在AB同侧时，上述结论是否成立？为什么？（5）如图15，若△CED是直角三角形，求∠CAD的度数。通过上述这组题的设问，一步一步深入，形成“命题链”，这样不但复习了直角三角形斜边上的中线和等腰三角形“三线合一”的基本性质，而且加强了学生的分类意识，培养了学生的研究性学习的能力。五、选题时，应注重开放性和探索性试题的讨论，体现创造性原则新课程下的中考试题，更注重学生的创新意识和创造能力的培养，在选题时，要选一些立意新颖的开放性和探索性试题，有利于学生创造能力的培养和全面素质的发展。5.1如图17，①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点。（1）求图①中，∠APD的度数；（2）图②中，∠APD的度数为，图③中，∠APD的度数为；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。通过这组开放性和探索性试题复习，让学生在自己独立思考的基础上，开展小组讨论，通过同伴互动、合作交流，使每个学生尝试失败，体验成功，培养学生思维的广阔性，提高学生的思维品质。六、选题时，要关注操作性和运动型几何题，体现时代性原则操作性和运动型几何题是近年来中考的热点问题，它把传统几何的静止状态动起来，使几何试题既新颖又灵活起来，增加了学生的思维空间。∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图18②所示），将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F，P。D2D1C2C1FD1（D2）③②①PBEA图（18）BC1（C2）AACDB6.1如图18①所示，一张三角形纸片ABC，（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围。（3）对于（2）中的结论是否有这样的x，使得重叠部分面积等于原△ABC纸片面积的41请求出x的值；若不存在，请说明理由。？若存在，D2D1C2C1FD1（D2）③②①PBEA图（18）BC1（C2）AACDB（1）当△AC1D1平移到如图18③所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。这是一题操作性运动型试题，能让学生在运动中，找出图中的不变量，找出图中变量与变量的变化关系。通过这一题组的复习，使学生善于在变化中把握不变量，利用不变量寻找相关问题，能提高学生的综合分析能力。思考题如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点P是弧AC的中点