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第16课时二次函数的应用第16课时┃考点聚焦考点聚焦考点1二次函数的应用二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．考点聚焦归类探究回归教材考点2建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的关系式是解题关键．命题角度：1．利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等抛物线形问题；2．利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．探究一、二次函数解决抛物线形问题归类探究第16课时┃归类探究例1．[2012•安徽]如图16－1，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究方法点析利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的关系式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入关系式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．图16－1考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究解析(1)根据h＝2.6和函数图象经过点(0，2)，可用待定系数法确定二次函数的关系式．(2)要判断球是否过球网，就是求x＝9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43，则球能过网，反之则不能；要判断球是否出界就是求抛物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球不出界，反之就会出界；要判断球是否出界，也可以求出x＝18时对应的函数值，并与0相比较．(3)先根据函数图象过点(0，2)，建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含有字母系数h的形式，要求球一定能越过球网，又不出边界时h的取值范围，结合函数的图象，就是要同时考虑当x＝9时对应的函数y的值大于2.43，且当x＝18时对应的函数y的值小于或等于0，进而确定h的取值范围．考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究解析(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－160，故y与x的关系式为y＝－160(x－6)2＋2.6.(2)当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，－160(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋239＞18，x2＝6－239(舍去)．故球会出界．考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究解析(3)当球正好过点(18，0)时，抛物线y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)，代入关系式，得2＝36a＋h，0＝144a＋h，解得a＝－154，h＝83，此时二次函数关系式为：y＝－154(x－6)2＋83，此时球若不出边界，则h≥83，考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究解析当球刚能过网，此时函数图象过点(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h的图象还过点(0，2)，将两点坐标代入关系式，得2.43＝a（9－6）2＋h，2＝a（0－6）2＋h，解得a＝－432700，h＝19375，此时球要过网则h≥19375.∵83＞19375，∴h≥83，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥83m.考点聚焦归类探究回归教材命题角度：二次函数在销售问题方面的应用．探究二、二次函数在营销问题方面的应用第16课时┃归类探究例2．[2013•鞍山]某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系．(1)试求y与x之间的函数关系式；(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究解析(1)根据题意，可设y＝kx＋b，把(5，30000)，(6，20000)代入，得30000＝5k＋b，20000＝6k＋b，解得k＝－10000，b＝80000，所以y与x之间的关系式为：y＝－10000x＋80000.(2)设利润为W，则W＝(x－4)(－10000x＋80000)＝－10000(x－4)(x－8)＝－10000(x2－12x＋32)＝－10000[(x－6)2－4]＝－10000(x－6)2＋40000，所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究方法点析二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最大面积，最小距离等．2．在写函数关系式时，要注意自变量的取值范围．探究三、二次函数在几何图形中的应用第16课时┃归类探究例3．[2013•聊城]已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？(3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究解析(1)先用x表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，将y＝48时代入关系式就可以求出x的值；(2)将(1)的关系式转化为顶点式就可以求出最大值．(3)由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究解析(1)根据题意，得y＝x（20－x）2＝－12x2＋10x，当y＝48时，－12x2＋10x＝48，解得：x1＝12，x2＝8，∴面积为48时BC的长为12或8.(2)∵y＝－12x2＋10x，∴y＝－12(x－10)2＋50，∴当x＝10时，y最大＝50.考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究解析(3)△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C，当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC＞B′C＋BC，当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃归类探究解析因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小，这时由作法可知：BB′＝20，∴B′C＝202＋102＝105，∴△ABC的周长＝10＋105，因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为105＋10.方法点析二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．考点聚焦归类探究回归教材教材母题如何定价利润最大第16课时┃回归教材某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售，每月能卖出210件．假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数．(1)试求y与x之间的函数关系式；(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润是多少？回归教材考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃回归教材解析解：(1)y＝－30x＋960.(2)设每月的毛利润为w元，则w＝(x－16)×(－30x＋960)＝－30x2＋1440x－960×16.当x＝24时，w有最大值，w最大值＝1920元．考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃回归教材中考预测某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃回归教材解析(1)w＝(x－20)[250－10(x－25)]＝－10x2＋700x－10000.(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250.所以，当x＝35时，w有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大．考点聚焦归类探究回归教材第16课时┃回归教材解析(3)方案A：由题可得20＜x≤30，因为a＝－10＜0，对称轴为x＝35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，所以，当x＝30时，w取最大值为2000元，方案B：由题意，得x≥45，250－10（x－25）≥10，解得45≤x≤49，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，所以，当x＝45时，w取最大值为1250元，因为2000元＞1250元，所以选择方案A.考点聚焦归类探究回归教材