搜索
第3课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有的点组成的平面区域(半平面)边界直线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)含有边界直线．基础知识梳理不含(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有的点(x，y)，使得Ax＋By＋C值的符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合Ax＋By＋C0；而位于另一半平面的点，其坐标适合.基础知识梳理Ax＋By＋C0(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的来判断Ax＋By＋C0(或Ax＋By＋C0)所表示的区域．基础知识梳理符号2．线性规划的有关概念基础知识梳理基础知识梳理名称意义约束条件由变量x，y组成的.线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数，如z＝2x＋3y线性目标函数关于x，y的解析式可行解满足线性约束条件的.可行域所有可行解组成的.最优解使目标函数取得最大值或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或最小值问题最大值最小值集合解(x，y)一次解析式一次不等式组可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？【思考·提示】最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．基础知识梳理1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是()A．该直线的截距B．该直线的纵截距C．该直线的纵截距的相反数D．该直线的横截距答案：C三基能力强化2.(教材习题改编)不等式x2－y2≥0所表示的平面区域(阴影部分)是()三基能力强化答案：C三基能力强化3．(2009年高考安徽卷改编)不等式组y≥0，x＋3y4，3x＋y≥4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34答案：C三基能力强化4．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是________．答案：50x＋40y≤2000x∈N*y∈N*三基能力强化5．(2009年高考北京卷)若实数x、y满足x＋y－2≥0，x≤4，y≤5，则s＝x＋y的最大值为________．答案：9课堂互动讲练判断不等式表示的区域在直线的哪一侧，只需在直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax＋By＋C的正负即可判别，当C≠0时，常用原点来判别．或者是根据B的符号和不等式的符号来判别，若B的符号和不等式的符号同号，则不等式表示的区域在直线上方；若异号，则在直线的下方．考点一二元一次不等式（组）表示的平面区域课堂互动讲练例1(2009年高考湖南卷改编)已知D是由不等式组x－y≥0x＋3y≥0所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为()A.5π12B.5π6C.3π4D.3π2【思路点拨】作出可行域，求出两直线的夹角．课堂互动讲练【解析】如图阴影部分表示x－y≥0，x＋3y≥0确定的平面区域，【答案】B课堂互动讲练所以劣弧AB的弧长即为所求．∵kOB＝－33，kOA＝1，∴∠BOx＝π6，∠AOx＝π4.∴∠BOA＝512π.∴劣弧AB的长度为2×5π12＝5π6.【误区警示】注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．若直线不过原点，特殊点常选取原点．课堂互动讲练1．求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．课堂互动讲练考点二求线性目标函数的最值2．最优解的确定方法线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b0时，则是向下方平移．课堂互动讲练课堂互动讲练例2已知关于x、y的二元一次不等式组x＋2y≤4x－y≤1x＋2≥0.求函数u＝3x－y的最大值和最小值．【思路点拨】课堂互动讲练作出可行域→作出直线3x－y＝0→找到最优解→求得最大值课堂互动讲练【解】(1)作出二元一次不等式组x＋2y≤4x－y≤1x＋2≥0表示的平面区域，如图．由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小，课堂互动讲练解方程组x＋2y＝4x＋2＝0，得C(－2,3)，∴umin＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，课堂互动讲练解方程组x＋2y＝4x－y＝1，得B(2,1)，∴umax＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.【名师点评】本题是通过平移直线得到y轴上的截距－u的最大值，应是u的最小值，一定要注意u前面的符号．有时我们也可以先求出最优解，再代入目标函数看其是最大值还是最小值．课堂互动讲练将例2中的目标函数z＝3x－y改为z＝x＋2y＋2，求z的最值．课堂互动讲练互动探究解：作出二元一次不等式组x＋2y≤4x－y≤1x＋2≥0课堂互动讲练表示的平面区域，如图．由z＝x＋2y＋2，得y＝－12x＋12z－1，得到斜率为－12，在y轴上的截距为12z－1，随z变化的一组平行线，课堂互动讲练由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距12z－1最小，即z最小，解方程组x－y＝1x＋2＝0，得A(－2，－3)，∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.即z最大，∴zmax＝x＋2y＋2＝4＋2＝6.∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.课堂互动讲练当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距12z－1最大，此类问题首先应画出可行域，再考虑目标函数的几何意义，使所求的问题进行转化，从而求得目标函数的最值．课堂互动讲练考点三求非线性目标函数的最值课堂互动讲练例3变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，课堂互动讲练作出(x，y)的可行域如图所示．由x＝1，3x＋5y－25＝0，解得A(1，225)．由x＝1，x－4y＋3＝0，解得C(1,1)，由x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得B(5,2)．课堂互动讲练(1)∵z＝yx＝y－0x－0.∴z的值即是可行域中的点与原点O的连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝25.课堂互动讲练(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.【思维总结】本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：课堂互动讲练(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与(a，b)的距离．课堂互动讲练(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型，一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．课堂互动讲练考点四线性规划的实际应用课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%课堂互动讲练和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【思路点拨】设投资人对甲、乙两个项目各投资x万元，y万元，由题意列出变量x，y满足的条件，利用线性规划的解题步骤逐步求解．课堂互动讲练【解】设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.目标函数z＝x＋0.5y4分上述不等式组表示的平面区域如右图所示，阴影部分(含边界)即为可行域.6分将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2，随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大.8分M点是直线x＋y＝10与直线0.3x＋0.1y＝1.8的交点．课堂互动讲练此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∵70，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.12分课堂互动讲练解方程组x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，得x＝4，y＝6.10分【名师点评】正确做出可行域后，将目标函数变为直线方程斜截式的形式．首先注意该直线在y轴上的截距与目标函数z取值大小的关系，再注意该直线的斜率与可行域边界直线斜率的关系，以方便地找出最优解，本题中，将目标函数变形为y＝－2x＋2z，其斜率为－2，正好在点M处介于两边界直线的斜率－1和－3之间．课堂互动讲练(本题满分12分)某公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？课堂互动讲练高考检阅解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z＝3000x＋2000y.4分课堂互动讲练x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.课堂互动讲练二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线l：3000x＋2000y＝0.即3x＋2y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．课堂互动讲练联立x＋y＝300，5x＋2y＝900.解得x＝100，y＝200.8分∴点M的坐标为(100,200)．∴zmax＝3000×100＋2000×200＝700000(元)10分即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.12分课堂互动讲练1．最优解可有两种确定方法(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1，k2，…，kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当kikki＋1时，直线li与li＋1相交的点一般是最优解．规律方法总结(3)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，此时应当作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目不多，可采用逐个检验的办法确定．规律方法总结2．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤