2011届高三数学二轮复习-专题5 第3讲空间向量与立体几何

热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何第3讲空间向量与立体几何热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何要点知识整合1．空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的有序实数组{x，y，z}，使OPxOAyOBzOC热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何2．向量法求空间角的方法如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．(1)异面直线所成角的求法：从两异面直线上分别取与之共线的两向量n1，n2，如图①，cosθ＝|n1·n2||n1|·|n2|.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(2)线面角的求法：设n是平面α的法向量，AB→是直线l的方向向量，如图②，则直线l与平面α所成的角满足sinα＝ABnABn.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(3)二面角的求法：①如图①，AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与l垂直的异面直线，则二面角α－l－β的平面角θ满足cosθ＝ABCDABCD.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何②设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个角α，β的法向量，在图②中二面角α－l－β的平面角θ满足cosθ＝n1·n2|n|1·|n2|.在图③中二面角α－l－β的平面角θ满足cosθ＝n1·n2|n1|·|n2|.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何热点突破探究典例精析题型一利用空间向量证明空间位置关系热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何例1如图，正方形ABCD所在的平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何【解】∵△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，∴AE⊥AB，∵平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，即AD、AB、AE两两垂直，如图建立空间直角坐标系．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(1)证明：设AB＝1，则AE＝1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)，∵FA＝FE，∠AEF＝45°，∴∠AFE＝90°，从而F(0，－12，12)，EF＝(0，－12，－12)，BE＝(0，－1,1)，BC＝(1,0,0)．于是EF·BE＝0＋12－12＝0，EF·BC＝0，热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何∴EF⊥BE，EF⊥BC，∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE＝B，∴EF⊥平面BCE.(2)M(0,0，12)，P(1，12，0)，从而PM＝(－1，－12，12)，于是PM·EF＝(－1，－12，12)·(0，－12，－12)＝0＋14－14＝0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何∴PM⊥EF，又EF⊥平面BCE，直线PM⊄平面BCE，故PM∥平面BCE.【题后拓展】空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证．即证直线的方向向量和平面法向量间的关系．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何变式训练1．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC12AD，BE12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何解：由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(1)证明：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)．H(0，b，c)，所以，GH＝(0，b,0)，BC＝(0，b,0)，于是GH＝BC.又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以EF→＝(－a,0，c)，CH→＝(－a,0，c)，EF→＝CH→.又C∉EF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面．(3)证明：由AB＝BE，得c＝a，所以CH→＝(－a,0，a)，AE→＝(a,0，a)．又AD→＝(0,2b,0)，热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何因此CH→·AE→＝0，CH→·AD→＝0，即CH⊥AE，CH⊥AD.又AD∩AE＝A，所以CH⊥平面ADE.故由CH⊂平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何题型二利用空间向量求空间角例2如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1EDF交A1D1于点F.(1)指出F在A1D1上的位置，并说明理由；(2)求直线A1C与DE所成角的余弦值；(3)求直线AD与平面B1EDF所成角的正弦值．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何【解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，Ea，a2，0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(1)由正方体的性质，有B1F∥ED，B1E∥FD.设F(0，y，a)，则FD→＝(0，a－y，－a)，B1E→＝0，a2，－a，由FD→∥B1E→，得a－y＝a2，∴y＝a2.∴F为A1D1的中点．(2)A1C→＝(a，a，－a)，DE→＝a，－a2，0，∴cos〈A1C→，DE→〉＝a2－12a23a·52a＝115＝1515.∴直线A1C与DE所成角的余弦值为1515.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(3)设平面B1EDF的法向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥B1E→，n⊥DE→，得a2y－az＝0，ax－a2y＝0，∴y＝2z，y＝2x.取x＝1，得n＝(1,2,1)，又AD→＝(0，a,0)，∴|cos〈n，AD→〉|＝|n·AD→||n||AD→|＝2a6a＝63.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何设直线AD与平面B1ED所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AD→〉|＝63.故直线AD与面B1EDF所成角的正弦值为63.【题后拓展】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：(1)建立恰当的空间直角坐标系．(2)求出相关点的坐标．(3)写出向量坐标．(4)结合公式进行论证、计算．(5)转化为几何结论．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何变式训练2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D－ABCE.(1)求证：BE⊥平面ADE；(2)求BD与平面CDE所成角的正弦值．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何解：如图，以点B为坐标原点，BC、BA分别为x轴，y轴，过点B与平面ABCE垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则B(0,0,0)，C(1,0,0)，A(0,2,0)，E(1,1,0)，D(12，32，22)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(1)证明：BE→＝(1,1,0)，AE→＝(1，－1,0)，AD→＝(12，－12，22)，∵BE→·AE→＝0，BE→·AD→＝0，∴BE⊥AE，BE⊥AD，又AE∩AD＝A，∴BE⊥平面ADE.(2)设向量n＝(x0，y0,1)为平面CDE的一个法向量，则n⊥CE→，n⊥DE→，即n·CE→＝0，n·DE→＝0，∵CE→＝(0,1,0)，DE→＝(12，－12，－22)，热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何∴x0＝2，y0＝0，即n＝(2，0,1)．∵BD→＝(12，32，22)，∴cos〈n，BD→〉＝n·BD→|n||BD→|＝23.∵直线BD和平面CDE所成的角θ是n和BD→夹角的余角，∴BD与平面CDE所成角的正弦值为23.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(2010年高考江西卷)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23.(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．例3热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何【解】如图，取CD中点O，连结OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．OB＝OM＝3，则各点坐标分别为O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，－3，0)，A(0，－3，23)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(1)设直线AM与平面BCD所成的角为α，因为AM→＝(0，3，－3)，平面BCD的法向量为n＝(0,0,1)，则有sinα＝|cos〈AM→，n〉|＝|AM→·n||AM→|·|n|＝36＝22，所以α＝45°.(2)CM→＝(－1,0，3)，CA→＝(－1，－3，23)．设平面ACM的法向量为n1＝(x，y，z)，由n1⊥CM→，n⊥CA→，得－x＋3z＝0，－x－3y＋23z＝0，热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何解得x＝3z，y＝z，取n1＝(3，1,1)．平面BCD的法向量为n＝(0,0,1)．则cos〈n1，n〉＝n1·n|n1|·|n|＝15.设所求二面角为θ，则sinθ＝1－152＝255.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何【题后点评】借助向量求二面角是解决空间角问题的常用方法．求解过程中应注意：两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．如下图所示，二面角α－l－β的大小是〈n，m〉的补角．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何如下图所示，二面角α－l－β的大小才是〈n，m〉的大小．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何变式训练3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何解：如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题五立体几何(1)证明：C1B1→＝(0,2,0)，DC1→＝(－1,0,1)，CD→＝(1,0,1)，由CD→·C1