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1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.【考纲下载】第10讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)；(2)反比例函数模型y＝(k≠0)；(3)二次函数模型y＝＋bx＋c(a≠0)；(4)指数函数模型y＝；(5)y＝x＋型；(6)分段函数模型．(1)阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题目中出现的量的数学含义．(2)分析建模：分析题目中量与量之间的关系，根据题意恰当地引入字母(包括常量和变量)，有时可借助列表和画图等手段理顺数量关系，同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型，以确定函数的种类，再在对已知条件和目标变量进行综合分析．在归纳抽象的基础上，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题．(3)数学求解：利用相关的函数知识，进行合理设计，以确定最佳的解题方案，进行数学上的求解和计算．(4)还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．2．解决函数应用题的步骤提示：(1)在解题时，有些函数的性质并不是明显的，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法．(2)应坚持“定义域优先”的原则，先弄清参数的取值范围．(3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题．1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一次分裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个繁殖成()A．211个B．512个C．1023个D．1024个解析：每分裂一次，细菌个数是原来的2倍．故3小时后细菌个数是1×＝512个．答案：B2．用长度为24的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3B．4C．6D．12解析：设隔墙的长为x(0x6)，矩形面积为y，y＝x×＝2x(6－x)，∴当x＝3时，y最大．答案：A3．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为()A．na(1－b%)B．a(1－nb%)C．a[1－(b%)n]D．a(1－b%)n答案：D4．将进货单价为8元的商品按10元一个销价时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为________元．解析：设售价涨x元，则日销售量为100－10x个，则利润y＝(10＋x－8)(100－10x)＝－10(x2－8x－20)＝－10[(x－4)2－36]∴当x＝4时，销售利润最大，此时单价为14元．答案：14二次函数是我们比较熟悉的基本函数．建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：要分析自变量的取值范围和二次函数图象对称轴的位置．【例1】杭州某房地产公司要在西湖边的空地ABCDE(如下图所示)上划出一块长方形地面建一公寓，且所划长方形的一条边在ED上，其中ED＝100，EA＝60，BC＝70，DC＝80.问：如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．解：如题图，设FM＝x(0≤x≤30)，因为△AGB与△BFM相似，所以得BF＝x，S＝(70＋x)(80－x)＝－x2＋x＋5600.当x＝25时，Smax＝，此时MB＝，所以当长方形顶点M在AB边上距B为m时，面积最大为m2.变式1：某出租车租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大最大月收益是多少？解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)＝整理得f(x)＝＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050元．即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.1.现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．【例2】电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如下图所示(实线部分)，(注：图中MN∥CD)．试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？思维点拨：由图建立付话费的两种方案的分段函数解析式．解：由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x)，则fA(x)=fB(x)=(1)通话2小时，即x=120时，fA(120)=116，fB(120)=168.所以A、B两种方案的应付话费分别为116元、168元．(2)方案B从500分钟后，每分钟收费就是fB(n+1)-fB(n)(n500，n∈N*)，因为fB(n+1)-fB(n)=(n+1)+18-n-18==0.3.所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图可知，当0x≤60时，fA(x)fB(x)；当x500时，fA(x)fB(x)；当60x≤500时，fA(x)fB(x)，得x.所以当通话时间在时，方案B比方案A优惠．变式2：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解：(1)当0＜x≤时，y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x，当＜x≤时，y＝(4＋3x)×1.80＋(5x－4)×3.00＝20.4x－4.8，当x＞时，y＝(4＋4)×1.80＋[(5x－4)＋(3x－4)]×3.00＝24x－9.6因此(2)当x＝时，y＝22.4，因此由24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，因此甲、乙两户该月的用水量分别是7.5吨、4.5吨；甲、乙两户该月应交水费分别为17.7元、8.7元.4545434343函数y＝x＋(a0)常称为“对勾”函数，解决“对勾”函数问题通常利用基本不等式，但要注意等号成立的条件，当等号不成立时，常利用函数的单调性解决．【例3】某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？思维点拨：依题意义建立函数模型y＝x＋(a0)后，利用不等式或函数的单调性求其最值．解：设温室的左侧边长为xm，则后侧边长为m.∴蔬菜种植面积y＝(x－4)＝808－2(4x400)，∵x＋≥2＝80，∴y≤808－2×80＝648(m2)．当且仅当x＝，即x＝40，此时＝20m，y最大＝648(m2)．∴当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，为648m2.变式3：某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙费用是元；③拆去1m旧墙，用所得的材料建1m新墙的费用为元，经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段xm(x14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？解：(1)利用旧墙的一段xm(x14)为矩形一面边长，则修旧墙的费用x·元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·元，其余建新墙的费用为元故总费用为当且仅当，即x＝12m时，ymin＝35a.(2)若利用旧墙的一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为元，故总费用为设14≤x1x2则＝(x1－x2).∵14≤x1x2，∴x1－x20，x1x2126.从而0，∴函数y＝x＋在[14，＋∞)上为增函数．故当x＝14时，ymin＝＝35.5a.综上讨论知，采用第(1)方案，利用旧墙12m为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元.【方法规律】1．理解函数思想及函数与方程思想的实质，强化应用意识．2．通过解决函数应用题提高学生的阅读理解能力，抽象转化能力和解答实际问题的能力．3．解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程模型，最终求解数学模型使实际问题获解.(2009·湖北卷)(本小题满分12分)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【高考真题】解：(1)如图，设矩形的另一边长为am，……1分则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.……4分由已知xa＝360，得a＝，所以y＝225x＋－360(x0).……6分(2)∵x0，∴225x＋≥2＝10800.∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.……12分【规范解答】本题主要考查函数和不等式的应用问题．考题的命制，借助具体的情境，即修建矩形的场地围墙的实际问题，将总费用与旧墙的长度这两个量联系起来，建立起一个函数关系，这就和第(2)问的利用均值不等式求函数最值密切联系到一起了．可以说这个问题的命制环环相扣的，考查考生利用所学知识解决实际应用问题的能力，同时也考查了考生的阅读理解能力．【探究与研究】1．列函数关系时，漏掉了新墙上的宽度为2m的进出口，导致列出错误的解析式y＝45x＋180x＋180·2a；2．漏写“x0”；3．无结论或结论不完整．1．利用函数模型的单调性比较数的大小；2．比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；3．函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题.