等腰三角形知识点

等腰三角形知识点知识总结归纳：（－）等腰三角形的性质1.有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3.等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。例1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。AD1BMCE例2.如图，已知：ABC中，ACAB，D是BC上一点，且CADCDBAD，，求BAC的度数。ABCD说明：1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。例3.已知：如图，ABC中，ABCDACAB，于D。求证：DCB2BAC。A12DBCE3说明：1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB的等角等。牛刀小试1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A.6个B.7个C.8个D.9个A36°EDFBCAEFBDC2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。3.如图，ABC中，100AACAB，，BD平分ABC。求证：BCBDAD。AD1B2EFCADE1B2FC34563.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对4.如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD，，则1的度数是________。CA1DB235.ABC中，120AACAB，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：BC21DE。6、在ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为040，则底角∠B＝.7、如果一个三角形是轴对称图形且有一个0120的角，那么这个三角形的另两个角的度数为。8、如果一个三角形（等腰）一边长为4cm，周长为10cm，那么另外两边长为。9、如图：BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN//BC，AB＝12，BC＝24，AC＝18，则AMN的周长为。AMONCB10、若等腰三角形的一个外角为100，则这个底角为。11、如果等腰三角形的一个内角是75，那么它的另外两角的度数是。12、如图在ABC中，D是AC上一点，AB＝DB＝DC，若∠C＝25，则∠ABD的度数是。13、如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于度。14、如图∠1＝∠2，AB＝AC，AE＝AD。求证：BD＝CE。15、已知等腰三角形一腰上的中线将其周长分为15cm和12cm两部分，求这个三角形各边的长。16、在等边ABC中，,31,31ACCEBCBD求证：DE⊥AC.测试题二1．在△ABC中，AB=AC，若∠B=56º，则∠C=__________．2．若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3．若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x－6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，若∠CAD=25°，则∠ABE=，若BC=6，则CD=．5．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D．E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有______个6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________．7．如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB，延长BC到E，使CE=CA，连接AD．AE，则∠DAE=_______．EDCBA8．如下图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是．EDCBAPQMNG9．△ABC中，∠C=∠B，D．E分别是AB．AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=______10．如图，∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根．11．如图△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC的高，它们相交于H，且AE=BE．求证：AH=2BD．12．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠DAB=∠EAC=90°．求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．13．如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE．求证：BDCE14．如图，ABAC，30BAD，且ADAE．求EDC的度数．15.如图，ABC中，90ACB，CDBA于D，AE平分BAC交CD于F，交BC于E，求证：CEF是等腰三角形．16．RtABC中，ABAC，90BAC，O为AB中点，若点M．N分别在线段AB．AC上移动，且在移动过程中保持ANBM，试判断OMN的形状，并证明你的结论．17.已知：如图，△ABC中，D在AB上，E在AC延长线上，且BD＝CE，DE交BC于M，MD＝ME，求证：△ABC是等腰三角形．18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数．EMDCBA