9.2-线性连续系统的可控性和可观测性

9-2线性系统的可控性和可观测性动态系统的可控性和可观测性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。卡尔曼在60年代初首先提出状态可控性和可观测性。其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研究,有着极其重要的意义。系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。状态n维x(t)r维u(t)m维y(t)能控?能控?可观测性反映由能直接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。状态x(t)u(t)y(t)能观测?为什么经典控制理论没有涉及到可控性和可观测性问题?这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定。因此,给定输入,则一定会存在唯一的输出与之对应。反之,对期望输出信号,总可找到相应的输入信号(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。此外,输出一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。否则,就无从进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。因此,在这里不存在输出能否测量(观测)的问题。所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高,这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题。此外,状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输入输出的信息来构造系统状态的问题。一、线性连续系统的可控性本节首先从物理直观性来讨论状态可控的基本含义,然后再引出状态可控性的定义。下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解可控性严格定义的确切含义是有益的。1.可控性的直观讨论状态可控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是可控的,或者更确切地说,是状态可控的。否则,就称系统为不完全可控的。下面通过实例来说明可控性的意义。该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。例某电桥系统的模型如图1所示。uR+++--C1C2x1x2-RRR图1电桥系统由电路理论知识可知,若图1所示的电桥系统是平衡的,电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不可控的,则系统是不完全可控的。uR+++--C1C2x1x2-RRR若图1所示的电桥系统是不平衡的,两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是可控的。由状态空间模型来看,当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程:2221111111xRCxuRCxRCxuR+++--C1C2x1x2-RRR由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不可控的。1Q1Oh1h2Q2QOQO2例某并联双水槽系统如图2所示,其截面积均为A,它们通过阀门O均匀地输入等量液体,即其流量QO相同。图2并联双水槽系统1Q1Oh1h2Q2QOQO2当阀门1和2的开度不变时,设它们在平衡工作点邻域阀门阻力相等并可视为常数,记为R。图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分别为流量。该双水槽系统的状态可控性可分析如下:对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡。下面仅考虑流量QO的变化量QO所引起的水槽水位的变化。22221111/dd/ddQRhQQthAQRhQQthAOO由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系,有1Q1Oh1h2Q2QOQO2其中代表平衡工作点附近的变化量。选上述方程中变化量h1和h2为状态变量,将状态变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,则有ooQAxARxQAxARx11112211ooQAxARxQAxARx11112211解上述状态方程,可得d)(1)0()(d)(1)0()(0/τ)(2/20/τ)(1/1otARtARtotARtARtQeAxetxQeAxetx)0()0()()(21/21xxetxtxARt由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态轨线不相交。因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。上面用实际系统初步说明了可控性的基本含义,可控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。)0()0()()(21/21xxetxtxARtuxxxxx212112例:给定系统的状态空间模型与结构图分别为本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关,即输入u(t)不可控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。因此,状态x1(t)不可控,则整个系统是状态不完全可控的。1/s-1-22x1x1/syuuxxxuxxx21221122由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,可以说,x1(t)和x1(t)都是单独可控的。对该状态方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。例:给定系统的状态空间模型为因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独可控的,但整个系统并不可控。前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态可控性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断可控性是困难的。下面将通过给出状态可控性的严格定义,来导出判定系统可控性的充要条件。2.状态可控性的定义由状态方程及状态方程求解公式可知,状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入,与输出y(t)无关。因此研究讨论状态可控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。对线性连续系统,我们有如下状态可控性定义。()()()()()xtAtxtBtut定义1若线性时变连续系统对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0),存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),可以找到一个控制量u(t),能在有限时间[t0,t1]内把系统状x2x10x(t0)x(t0)x(t0)态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,则称t0时刻的状态x(t0)可控;若对t0时刻的状态空间中的所有状态都可控,则称系统在t0时刻状态完全可控;简称为系统可控。()()()()()xtAtxtBtut对上述状态可控性的定义有如下讨论:1.控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻t0有关。对于定常系统,该控制时间与t0无关。所以,对于线性定常系统状态可控性,可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全可控”,而为“某一时刻状态完全可控,则系统状态完全可控”。2.在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。3.线性定常连续系统的状态可控性判据线性定常连续系统(A,B)状态可控性判据有许多不同形式,包括格拉姆矩阵判据秩判据模态判据()()()xtAxtBut（1）格拉姆矩阵判据线性定常连续系统(A,B)状态完全可控的充要条件为:存在t1(t10),使得如下可控格拉姆(Gram)矩阵为非奇异的110(0,)dTtAtTAtWteBBet（2）秩判据线性定常连续系统(A,B)状态完全可控的充要条件为:定义如下的可控性矩阵Qc=[BAB…An-1B]满秩,rankQc=rank[BAB…An-1B]=n证明如下:对于线性定常系统,由可控性定义可知,其状态可控性与初始时刻无关。因此,不失一般性,可设初始时刻t0为0。根据状态方程解的表达式,有证明在证明可控性判据之前,下面首先证明线性定常系统状态完全可控等价于下述方程对任意的初始状态x(0)有控制输入u(t)的解。10d)()0(tABuex1110)(1d)()0()(ttAAtBtuexex由可控性的定义有,若可控,则应存在t1(t10)和分段连续的u(t),使得x(t1)=0,即1110)(d)()0(0ttAAtBuexe即10(0)()dtABxeu因此,线性定常系统状态可控的充要条件为:上述方程对任意的x(0)有输入u(t)的解。下面将利用该方程证明判别状态可控性的充要条件。10)(enkkkAtAt由凯莱-哈密顿定理,有因此代入10(0)()dtABxeu11110000(0)()()d()()nnttkkkkkkABdxuABu得：10()()tkkdfu011101(0)...nknkknfffBABABfxAB令：011101(0)...nknkknfffBABABfxAB若系统是可控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出f0，f1，…，fn1来。这就要求系统可控性矩阵的秩为n，即rank[BABA2B…An1B]=n321001000101xaaaxu例题：试判断如下系统的状态可控性解由状态可控性的代数判据有212121110100aaaAaAbbb212121001rankrankrank0131cQAAanaaabbb因此,该系统状态完全可控。例题：设系统的状态方程为判断其状态可控性。解：系统的可控性矩阵为Qc=[BABA2B]=rankQc=2n所以系统状态不完全可控。211111322222544444ux1-1-1112310020231x对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常连续系统(A,B),有：1)若A的所有特征值互异,则系统可控的充要条件为：B中不包含元素全为0的行；2)若A有重特征值,则系统可控的充要条件为：重特征值对应的B中的行线性无关。12()()()nxtxtBtu（3）模态判据例题：判断下述系统的状态可控性72