诱导公式复习课件和练习高品质版

第二节诱导公式三角函数的诱导公式（1）三角函数的诱导公式函数角正弦余弦正切α+2kπ（k∈Z）sinαcosαtanα-α-sinα_______-tanαπ+α-sinα-cosα_______cosαtanα函数角正弦余弦正切π-α_______-cosα________cosα_______cotαcosα________-cotα22sinα-tanαsinα-sinα（2）诱导公式的记忆方法与规律①记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（即公式中的角可以表示为的形式，“奇、偶”是指k的奇偶性；“符号”是指把角α看作是锐角时原函数值的符号）②可以分类记忆：函数名称“变与不变”，函数值的符号“变与不变”.kkZ2（）判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”).(1)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.()(2)诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若cos(nπ-θ)=(n∈Z)，则cosθ=.()(4)诱导公式的记忆口诀中“函数名不变，符号看象限”中的符号与α的大小无关.()(5)若则()1313k,kZ,21tan().2tan【解析】（1）错误.sin(π+α)=-sinα,公式成立的条件是α为任意角.(2）错误.对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于正切的诱导公式(3)错误.当n为偶数时，当n为奇数时，(4)正确.诱导公式中“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号，因而与α的大小无关.k,kZ.21cosncos.311cosncoscos,cos.33(5)正确.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√sin()kcos12,kZ,tan().22sintancos()21.已知sin(3π+α)=,则cosα的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.由sin(3π+α)=sin(π+α)=-sinα=∴sinα=,∴cosα=1 212，323.2121 21 2322.的值是()(A)(B)(C)0(D)【解析】选A.1717cos()sin()4422221717cos()sin()44cos(4)sin(4)44cos()sin()44222.223.点A（sin2012°,cos2012°)在直角坐标平面中位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选C.∵sin2012°=sin(6×360°-148°)=sin(-148°)=-sin148°0,cos2012°=cos(6×360°-148°)=cos(-148°)=cos148°0.故选C.4.已知tan(π+α)=3,则__________.【解析】∵tan(π+α)=3,∴tanα=3.原式答案：72cos3sin4cossin22cos3sin23tan2337.4cossin4tan43考向1利用诱导公式求值或求角【典例1】(1)已知则θ等于()(A)(B)(C)(D)(2)已知则的值为()(A)(B)(C)(D)sin3cos2,,2 6 363a1log3,0,tan3aa0,a1,且3cos()210 1010 10310 10310 10（3）（2013·铜陵模拟）已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根，则=_____.【思路点拨】(1)利用诱导公式及同角三角函数关系求解.(2)利用诱导公式及对数运算可得tanα,再利用同角三角函数关系求sinα可解.(3)先化简所给式子，由方程求出sinα，然后再代入求值.233sin()sin()tan2sin22cos()cos()cos()22【规范解答】（1）选D.由得,即又(2)选B.由已知得即故cosα=3sinα,又sin2α+cos2α=1,即10sin2α=1,又∵-πα0,∴sinα=-sin3cos(2)sin3cos,tan3.,.231tan,3sin1,cos321sin,10310cos()cos()sin.221010.10(3)由sinα是方程5x2-7x-6=0的根，可得或sinα=2(舍）,原式由可知α是第三象限或者第四象限角.当α是第三象限角时，故3sin5233sin()sin()tansin22sin(sin)(cos)2coscostansintan.sinsin(cos)3sin54cos,53tan.4当α是第四象限角时，∴所求式子的值为答案：4cos,53tan.43.434【互动探究】若将本例题（3）中的条件改为“若cosα是方程5x2-7x-6=0的根”，则如何求所给式子的值.【解析】由cosα是方程5x2-7x-6=0的根，可得或cosα=2(舍去）,原式=-tanα,由可知α是第二象限或第三象限角.当α是第二象限角时，当α是第三象限角时，故所求式子的值为3cos53cos54sin,54tan,34sin,54tan,34.3【拓展提升】利用诱导公式解题的原则和步骤（1）应用诱导公式化简的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了.（2）诱导公式应用的步骤：【提醒】用诱导公式时不要忽略角的范围和三角函数的符号.【变式备选】已知求的值.【解析】sin()aa1,a0,59tan()14115cos()tan()2655cos()59tan()14115cos()tan()2655cos()5tan()5cos()tan()55cos()53222sin()aa2a5sin()a.51a1acos()5考向2利用诱导公式化简、证明【典例2】（1）________.(2)已知α为第三象限角,①化简f(α)；②若求f(α)的值.【思路点拨】（1）利用诱导公式化简即可.(2)①直接利用诱导公式化简；②利用α为第三象限角及同角三角函数关系的变形式得f(α)的值.3tancos2sin()2cossin3sin()cos()tan22ftansin，31cos(),25【规范解答】(1)原式答案：-1(2)①∴-sinα=,从而sinα=.又α为第三象限角,即f(α)的值为.tancos(cos)cossinsincoscos1.sin3sin()cos()tan22ftansin，(cos)sin(tan)cos.(tan)sin31cos(),25②1515226cos1sin,5265【互动探究】将本例题(1)式子变为如何化简?【解析】原式cos()sin2,119cos()sin(22）sinsintan.sincos【拓展提升】1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求（1）思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.（2）化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果中项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2.三角恒等式证明的常用方法(1)从左向右证或从右向左证（一般从稍复杂的一边开始证明）.(2)两边向中间证.(3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.【变式备选】(1)化简:(2)求证:对于任意的整数k,3sin2cos3cos()2.sin3sincossinkcosk1.sink1cosk1［］［］【解析】(1)原式(2)当k=2n(n∈Z)时,原式当k=2n+1（n∈Z）时，原式综上sin(cos)sin1.sin(sin)cossin2ncos2nsin2ncos(2n)sincos1sincos；sin2n1cos2n1sin2n2cos(2n)［］［］［］sincos1.sincos（）sinkcosk1.sink1cosk1［］［］考向3诱导公式在三角形中的应用【典例3】（1）（2013·萍乡模拟）在△ABC中，若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是()(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形或直角三角形(D)等腰直角三角形（2）在△ABC中，求△ABC的三个内角.5sin3Asin(A),23cosA2cosB,【思路点拨】（1）利用诱导公式将所给式子化简，再由三角函数值判断角的关系，最后得结论.(2)利用诱导公式及三角形中角的范围，先确定A，从而求出B，C.【规范解答】（1）选C.∵sin(A+B-C)=sin(A-B+C),∴sin(π-2C)=sin(π-2B)，∴sin2C=sin2B.∵0Cπ,0Bπ,∴2C=2B或2C=π-2B,∴B=C或∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.BC2，（2）由得sinA=cosA,即tanA=1,又∵0Aπ,又由得又0Bπ,故故所以△ABC中，5sin3Asin(A)2A.43cosA2cosB,3cosB,2B,67CAB,46127A,B,C.4612【拓展提升】1.三角形中的诱导公式在△ABC中常用到以下结论:sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,2.三角形中的隐含条件ABCCsin()sin()cos,22222ABCCcos()cos()sin.22222ABCABCabc.2222，【变式训练】在△ABC中，（1）求证：（2）若求证：三角形ABC为钝角三角形.【证明】(1)在△ABC中，A＋B＝π-C,22ABCcoscos1.223cos(A)sin(B)tanC022，ABC,222ABCCcoscos()sin,222222ABCcoscos1.22(2)若则(-sinA)(-cosB)tanC0,即sinAcosBtanC0,∵在△ABC中,0Aπ,0Bπ,0Cπ,∴sinA0,或∴角B与角C中有一角为钝角,故△ABC为钝角三角形.3cos(A)sin(B)tanC0.22cosB0,tanC0tanC0,cosB0,【易错误区】整体代换思想不明致误【典例】（2013·黄冈模拟）已知函数f(x)