4-第四章_复合材料层合板的弹性特性

层合板是由两层或两层以上单层叠合在一起的层合形式的结构。各单层可以是纤维方向不同而材质相同，也可以是材质不同，因此层合板沿厚度方向具有弹性性能的非均匀性。不同纤维方向的单层叠合成的层合板称为多向层合板，多向层合板在航空航天器结构中被大量使用。本章主要是基于单层的应力—应变关系，根据经典层合理论，得出多向层合板的弹性特性，另外还讨论了一些典型多向层合板的弹性特性。第4章复合材料层合板的弹性特性如图4.1所示的层合板，建立Oxyz坐标系，z坐标的原点O取在层合板厚度的中间处，z轴向下为正。从z=-h/2处开始向下排列，每单层或单层组的纤维方向与x轴的夹角即纤维方向角，用度数表示（x轴正向转到纤维方向逆时针为正）。具有相同的纤维方向角单层层数，用下标数字表示在角度数的右下角。单层或单层组之间用斜线隔开。图示层合板的标记为[45/–45/0/90/O2/–45/45/90]，标记中的方括号也可以用圆括号代替。4.1层合板的标记层合板各单层的铺叠方式可以是任意的，为了便于分析和比较不同铺叠方式多向层合板的力学特性，需要给出表示层合板单层或单层组的方向和铺叠顺序的符号，也称为层合板的标记。图4.1典型层合板的标记4.1层合板的标记另外，45°层和-45°层相邻时也可以用[45]表示，这里表示45°层在上，[45]则表示–45°层在上，于是图4.1所示的层合板也可以表示为[45/0/90/02/45/90]T，方括号外的下标表示一般的非对称层合板的全部铺层，下标T并不是必需的。图4.1典型层合板的标记图4.23种对称层合板对称层合板是一种特殊铺叠层合板，其各单层是相对于厚度中面对称的，其标记只需取一半，并在方括号外加S下标，如[45/-45/0/90]S表示了图4.2(a)所示的偶数层对称层合板。对于奇数层对称层合板(见图4.2(b))，需在中间层上加横线，如[45/-45/0/90]S。层合板中出现重复的单层组时，方括号内只记入单层组，重复次数用下标形式表示在方括号外，图4.2(c)所示的重复层对称层合板可表示为[0/90]2S。单层正交平面织物，每单层用（0/90）,(±45)表示，如[0/(±45)/90]表示0°和90°单层之间有一层纤维为±45°方向的平面织物。对于层间混杂的层合板，各单层或单层组的材料性质用相应的英文字下标表示在角度下。英文字母C表示碳纤维，G表示玻璃纤维，K表示芳纶纤维，B表示硼纤维。1.直法线假设：层合板弯曲变形前垂直于中面的直线段，在层合板变形后仍保持直线，并垂直于变形后的中面。因此层合板横截面上的剪应变为0，即：2.等法线假设：原垂直于中面的法线受载后长度不变，应变为0：3.平面应力假设：各单层处于平面应力状态，即有：4.线弹性和小变形假设：各单层应力应变关系是线弹性的。层合板是小变形板(满足弹性力学的基本方程)。这里研究的层合板是弹性薄板，其厚度远小于板的面内尺寸，板的所有位移都小于板厚，各单层之间黏结牢固，没有相对滑移。据此对层合板作如下假设：0,0yzxz一、层合板的基本假设0yzxzz4.2经典层合板理论和一般层合板的刚度本节基于弹性力学薄板理论来讨论层合板的应力—应变关系，即层合板刚度。0zwz在层合板中取垂直于y轴的截面，其变形前后的状态如图4.4所示。变形后x轴（中面）转动的角度为：考虑一层合板，其坐标系如图4.3所示。z轴垂直于板面，xOy坐标面与中面重合，板厚为h。二、层合板的应变-位移关系).,(),,(),,(0000yxwwyxvvyxuu图4.3层合板的坐标系xwxywy由基本假设，可得到层合板x方向和y方向的中面位移和以及z方向的位移只是x，y的函数，即（4.4）ywzvvxwzuu00于是层合板横截面上距中面为z的一点C的位移为：同理，y轴转动的角度为：（4.7）图4.4层合板中垂直于y轴截面的变形情况（4.5）（4.6）220xwzxuxux220ywzyvyvyyxwzxvyuxvyuxy2002，xwzuu0根据弹性力学应变和位移的关系，由式（4.7）可得层合板面内应变为:ywzvv0yxwkywkxwkxyyx222222中面弯曲率和扭曲率为：令中面应变分量为：xvyuyvxuxyyx0000000yxyxyxzkεε,0,,简写为：得到层合板任意一点的应变为：xyyxxyyxxyyxkkkz000可见层合板应变沿厚度方向是线性变化的。（4.7）（4.11）（4.12）（4.8）（4.9）（4.10）xyyxkxyyxkkxyyxkkkQQQQQQQQQzQQQQQQQQQ662616262221161211000662616262221161211三、层合板中单层的应力应变关系将式（4.11）或式（4.12）代入式（4.13）便可以得到用中面应变和曲率表示的层合板第k层的应力为：yxyxyxzkεε,0,,xyyxxyyxxyyxkkkz000层合板中各单层的应力与其刚度有关。对于距中面为z的第k层，其应力-应变关系为：kxyyxkkxyyxQQQQQQQQQ662616262212161211（4.13）yxkyxkkyxQzQ,0,,或简写为：(4.15)(4.14)（4.11）（4.12）因层合板沿厚度方向模量不连续导致应力不连续。图4.5典型层合板的应变和应力的变化kQyxkyxkkyxQzQ,0,,显然，由于各单层的不同，层合板的应力沿厚度方向一般不是线性的。图4.5给出了典型层合板的应变和应力的变化。kQyxkyxkkyxQzQ,0,,(4.15)dZZ作用在层合板上的内力和内力矩与层合板各单层应力有关。在层合板中取出一块平面尺寸为1×1，高度为板厚h的单元体，如图4.6所示。在距中面为z处的dz微元上，x面上有应力分量和，y面上有应力分量和。由经典层合板理论的假设，可得到两个垂直于板面的剪应力和均为零。根据应力和内力的静力学关系，可以得到单元体上的内力四、层合板的内力和内力矩xyx,yxy,yzyzxzxyyxNNN,,xyyxMMM,,以及内力矩为222222hhhhhhdzNdzNdzNxyxyyyxx222222hhhhhhzdzMzdzMzdzMxyxyyyxx（4.16）（4.17）xz是处于同一个面内、单位宽度上的轴力和剪力，也称为内力，它的单位是N/m。式（4.17）中的三个内力矩xyyxNNN,,xyyxMMM,,式（4.16）中的三个内力是单位宽度上的弯矩和扭矩，也称为内力矩，它的单位是N·m/m。式（4.16）和式（4.17）是将层合板看成均匀的各向异性体得到的应力积分形式的表达式。实际上层合板是分层均匀的，对于有n个单层构成的层合板（见图4.8），其内力和内力矩应表示为所有单层的内力和内力矩的叠加，即，222222hhhhhhdzNdzNdzNxyxyyyxx222222hhhhhhzdzMzdzMzdzMxyxyyyxx（4.16）（4.17）dzNNNkxyyxnkhhxyyxkk11zdzMMMkxyyxnkhhxyyxkk11（4.18）1khkh这里的和是第k层的上表面和下表面的z坐标值。（4.19）图4.8具有n个单层的层合板nkhhxyyxkhhxyyxkxyyxkkkkzdzkkkQQQQQQQQQdzQQQQQQQQQNNN166261626222116121100066261626222116121111nkhhxyyxkhhxyyxkxyyxkkkkdzzkkkQQQQQQQQQzdzQQQQQQQQQMMM1266261626222116121100066261626222116121111五、层合板的内力-变形的关系：将式（4.14）代入式（4.18）和（4.19），并考虑到每个单层的刚度矩阵在单层中不变，中面应变和曲率与z无关，均可以提到积分号外面，可以得到层合板内力、内力矩与中面应变及曲率的关系：（4.20）（4.21）xyyxkxyyxkkxyyxkkkQQQQQQQQQzQQQQQQQQQ662616262221161211000662616262221161211（4.14）dzNNNkxyyxnkhhxyyxkk11zdzMMMkxyyxnkhhxyyxkk11（4.18）（4.19）再考虑到由于中面应变和曲率不随单层的位置而变化，可以提到求和号之外，对式（4.20）和（4.21）积分，并使用应变和应力的简化表示式，便可得到nkyxkknkkyxkkkyxkhhQhhQN1,21210,1,)](21[)]([nkyxkknkkyxkkkyxkhhQhhQM1,31310,212,)](31[)](21[和(4.22)(4.23)nkhhxyyxkhhxyyxkxyyxkkkkzdzkkkQQQQQQQQQdzQQQQQQQQQNNN166261626222116121100066261626222116121111nkhhxyyxkhhxyyxkxyyxkkkkdzzkkkQQQQQQQQQzdzQQQQQQQQQMMM1266261626222116121100066261626222116121111（4.20）（4.21）得到的（4.20）和（4.21）nkkkkijijhhQA11)(nkyxkknkkyxkkkyxkhhQhhQN1,21210,1,)](21[)]([nkyxkknkkyxkkkyxkhhQhhQM1,31310,212,)](31[)](21[将式中的和的系数矩阵用A,B,D表达，并分别称为面内刚度矩阵、耦合刚度矩阵和弯曲刚度矩阵。这三个矩阵均为对称矩阵，各矩阵的刚度系数为：0,yxnkkkkijijhhQD1313)(31yxk,(i,j=1,2,6)式中,Aij的单位是N/m,Bij的单位是N,Dij的单位是