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考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月1一.函数的概念1�用变上、下限积分表示的函数�1�()dttfyx∫=0�其中()tf连续�则()xfdxdy=�2�()()()dttfyxx∫=21ϕϕ�其中()x1ϕ�()x2ϕ可导�()tf连续�则()[]()()[]()xxfxxfdxdy1122ϕϕϕϕ′−′=2�两个无穷小的比较设()0lim=xf�()0lim=xg�且()()lxgxf=lim�1�0=l�称()xf是比()xg高阶的无穷小�记以()()[]xgxf0=�称()xg是比()xf低阶的无穷小。�2�0≠l�称()xf与()xg是同阶无穷小。�3�1=l�称()xf与()xg是等价无穷小�记以()()xgxf~3�常见的等价无穷小当0→x时xx~sin�xx~tan�xx~arcsin�xx~arctan221~cos1xx−�xex~1−�()xx~1ln+�()xxαα~11−+二�求极限的方法1�利用极限的四则运算和幂指数运算法则2�两个准则准则1�单调有界数列极限一定存在�1�若nnxx≤+1�n为正整数�又mxn≥�n为正整数��则Axnn=∞→lim存在�且mA≥�2�若nnxx≥+1�n为正整数�又Mxn≤�n为正整数��则Axnn=∞→lim存在�且MA≤准则2��夹逼定理�设()()()xhxfxg≤≤若()Axg=lim�()Axh=lim�则()Axf=lim3�两个重要公式公式1�1sinlim0=→xxx公式2�ennn=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim�euuu=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim�()evvv=+→101lim4�用无穷小重要性质和等价无穷小代换5�用泰勒公式�比用等价无穷小更深刻��数学一和数学二�当0→x时�()nnxxnxxxe0!!212+++++=Λ()()()1212530!121!5!3sin++++−+++−=nnnxnxxxxxΛ()()()nnnxnxxxx22420!21!4!21cos+−+−+−=Λ()()()nnnxnxxxxx01321ln132+−+−+−=++Λ()()1212153012153arctan+++++−+−+−=nnnxnxxxxxΛ()()()()[]()nnxxnnxxx0!11!21112+−−−++−++=+αααααααΛΛ6�洛必达法则法则1��00型�设�1�()0lim=xf�()0lim=xg�2�x变化过程中�()xf′�()xg′皆存在�3�()()Axgxf=′′lim�或∞�则()()Axgxf=lim�或∞��注�如果()()xgxf′′lim不存在且不是无穷大量情形�则不能得出()()xgxflim不存在且不是无穷大量情形�法则2��∞∞型�设�1�()∞=xflim�()∞=xglim�2�x变化过程中�()xf′�()xg′皆存在考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月2�3�()()Axgxf=′′lim�或∞�则()()Axgxf=lim�或∞�7�利用导数定义求极限基本公式�()()()0000limxfxxfxxfx′=∆−∆+→∆[如果存在]8�利用定积分定义求极限基本公式()∫∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→1011limdxxfnkfnnkn[如果存在]三�函数的间断点的分类函数的间断点分为两类��1�第一类间断点设0x是函数()xfy=的间断点。如果()xf在间断点0x处的左、右极限都存在�则称0x是()xf的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。�2�第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四�闭区间上连续函数的性质在闭区间[]ba,上连续的函数()xf�有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1��有界定理�如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续�则()xf必在[]ba,上有界。定理2��最大值和最小值定理�如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续�则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。其中最大值M和最小值m的定义如下�定义设()Mxf=0是区间[]ba,上某点0x处的函数值�如果对于区间[]ba,上的任一点x�总有()Mxf≤�则称M为函数()xf在[]ba,上的最大值。同样可以定义最小值m。定理3��介值定理�如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续�且其最大值和最小值分别为M和m�则对于介于m和M之间的任何实数c�在[]ba,上至少存在一个ξ�使得()cf=ξ推论�如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续�且()af与()bf异号�则在()ba,内至少存在一个点ξ�使得()0=ξf这个推论也称为零点定理五�导数与微分计算1�导数与微分表()0=′c()0=cd()1−=′αααxx�α实常数�()dxxxd1−=ααα�α实常数�()xxcossin=′xdxxdcossin=()xxsincos−=′xdxxdsincos−=()xx2sectan=′xdxxd2sectan=()xx2csccot−=′xdxxd2csccot−=()xxxtansecsec=′xdxxxdtansecsec=()xxxcotcsccsc−=′xdxxxdcotcsccsc−=()axxaln1log=′()1,0≠aaaxdxxdalnlog=()1,0≠aa()xx1ln=′dxxxd1ln=()aaaxxln=′()1,0≠aaadxadaxxln=()1,0≠aa考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月3()xxee=′dxedexx=()211arcsinxx−=′dxxxd211arcsin−=()211arccosxx−−=′dxxxd211arccos−−=()211arctanxx+=′dxxxd211arctan+=()211cotxxarc+−=′dxxxdarc211cot+−=()[]22221lnaxaxx+=′++()dxaxaxxd22221ln+=++()[]22221lnaxaxx−=′−+()dxaxaxxd22221ln−=−+2�四则运算法则()()[]()()xgxfxgxf′±′=′±()()[]()()()()xgxfxgxfxgxf′+′=′⋅()()()()()()()xgxgxfxgxfxgxf2′−′=′⎥⎦⎤⎢⎣⎡()()0≠xg3�复合函数运算法则设()ufy=�()xuϕ=�如果()xϕ在x处可导�()uf在对应点u处可导�则复合函数()[]xfyϕ=在x处可导�且有()[]()xxfdxdududydxdyϕϕ′′==对应地()()[]()dxxxfduufdyϕϕ′′=′=由于公式()duufdy′=不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4�由参数方程确定函数的运算法则设()txϕ=�()tyψ=确定函数()xyy=�其中()tϕ′�()tψ′存在�且()0≠′tϕ�则()()ttdxdyϕψ′′=()()0≠′tϕ二阶导数()()()()()[]3221tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxydϕϕψϕψ′′′′−′′′=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5�反函数求导法则设()xfy=的反函数()ygx=�两者皆可导�且()0≠′xf则()()()[]ygfxfyg′=′=′11()()0≠′xf二阶导数()()[]()dxdydxxfddyygdyg11⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡′=′=′′()()[]()[]()[]{}33ygfygfxfxf′′′−=′′′−=()()0≠′xf6�隐函数运算法则设()xyy=是由方程()0,=yxF所确定�求y′的方法如下�把()0,=yxF两边的各项对x求导�把y看作中间变量�用复合函数求导公式计算�然后再解出y′的表达式�允许出现y变量�7�对数求导法则先对所给函数式的两边取对数�然后再用隐函数求导方法得出导数y′。对数求导法主要用于�①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数()[]()xgxfy=常用的一种方法考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月4()()xfxgeyln=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。8�可微与可导的关系()xf在0x处可微()xf⇔在0x处可导。9�求n阶导数�2≥n�正整数�先求出,,,Λyy′′′总结出规律性�然后写出()ny�最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式�1�xey=()xney=�2�()1,0≠=aaayx()()nxnaayln=�3�xysin=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2sinπnxyn�4�xycos=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2cosπnxyn(5)xyln=()()()nnnxny−−−−=!111两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式()()[]()()()()()∑=−=nkknkknnxvxuCxvxu0其中()!!!knknCkn−=�()()()xuxu=0�()()()xvxv=0假设()xu和()xv都是n阶可导。微分中值定理一�罗尔定理设函数()xf满足�1�在闭区间[]ba,上连续��2�在开区间()ba,内可导��3�()()bfaf=则存在()ba,∈ξ�使得()0=′ξf二�拉格朗日中值定理设函数()xf满足�1�在闭区间[]ba,上连续��2�在开区间()ba,内可导�则存在()ba,∈ξ�使得()()()ξfabafbf′=−−或写成()()()()abfafbf−′=−ξ()baξ有时也写成()()()xxxfxfxxf∆⋅∆+′=−∆+θ000()10θ这里0x相当a或b都可以�x∆可正可负。推论1�若()xf在()ba,内可导�且()0≡′xf�则()xf在()ba,内为常数。推论2�若()xf�()xg在()ba,内皆可导�且()()xgxf′≡′�则在()ba,内()()cxgxf+=�其中c为一个常数。三�柯西中值定理�数学四不要�设函数()xf和()xg满足��1�在闭区间],[ba上皆连续��2�在开区间()ba,内皆可导�且()0≠′xg则存在()ba,∈ξ使得()()()()()()ξξgfagbgafbf′′=−−()baξ�注�柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广�特殊情形()xxg=时�柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。�四�泰勒定理�泰勒公式��数学一和数学二�定理1��皮亚诺余项的n阶泰勒公式�设()xf在0x处有n阶导数�则有公式()()()()()()()()()()xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−′′+−′+=00200000!!2!1Λ考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月5()0xx→其中()()[]nnxxxR00−=()0xx→称为皮亚诺余项。()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−→0lim00nnxxxxxR前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形�根据不同情形取适当的n�所以对常用的初等函数如()xxxex+1ln,cos,sin,和()αx+1�α为实常数�等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2�拉格朗日余项的n阶泰勒公式�设()xf在包含0x的区间()ba,内有1+n阶导数�在[]ba,上有n阶连续导数�则对[]bax,∈�有公式()()()()()()()()()()xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−′′+−′+=00200000!!2!1Λ其中()()()()()101!1++−+=nnnxxnfxRξ��ξ在0x与x之间�称为拉格朗日余项。上面展开式称为以0x为中心的n阶泰勒公式。当00=x时�也称为n阶麦克劳林公式。如果()0lim=∞→xRnn�那么泰勒公式就转化为泰勒级数�这在后面无穷级数中再讨论。导数的应用�一�基本知识1�定义设函数()xf在()ba,内有定义�0x是()ba,内的某一点�则如果点0x存在一个邻域�使