直线与圆的复习

圆的标准方程形式：(x-a)2+(y-b)2=r2.将上式展为：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.由于a、b、r均为常数.不妨设，-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,则：x2+y2+Dx+Ey+F=0.①（思考；，是不是形如①的方程表示的曲线就是圆呢？配方后整理得：②22224()()224DEDEFxy此方程与圆的标准方程的关系.（1）当D2+E2-4F＞0时，表示以（，）为圆心、为半径的圆2D2E22142DEF（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=，y=，即只表示一个点（，）;2D2E2D2E（3）当D2+E2-4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形（虚圆）.综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆.只有当D2+E2-4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.要点·疑点·考点1.点与圆设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心到p的距离为d,则点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2dr,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2d=r,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2dr2.线与圆(1)设直线l，圆心C到l的距离为d．则圆C与l相离d＞r，圆C与l相切d=r，圆C与l相交d＜r，(2)由圆C方程及直线L的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ，则l与圆C相交Δ＞0，l与圆C相切Δ=0，l与圆C相离Δ＜03.圆与圆设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，则两圆相离|O1O2|＞r1+r2，外切|O1O2|=r1+r2，内切|O1O2|=|r1-r2|，内含|O1O2|＜|r1-r2|，相交|r1-r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|4.过圆上点的切线方程①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2．5.①直线和曲线相交，所得弦的弦长（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边（2）代数法：用弦长公式②⊙O1：x1+y1+D1x+E1y+F1=0和⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时，公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.221212(1)[()4]kxxxx6.圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．课堂练习2⊙O2:(x-2)2+(y-3)2=1,过点M(1，1)作圆的切线，求其方程？注意：求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条.1.两圆x2+y2-6x+4y+12=0和x2+y2-14x-12y+14=0的位置关系是()(A)相离(B)外切(C)相交(D)内切C3x-4y+1=0和x=13求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程．解法相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．∵所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.xyO当-2b2时，⊿0,直线与圆相交；当b=2或b=-2时,⊿=0,直线与圆相切；当b2或b-2时，⊿0，直线与圆相离。222222㈠方法探索解法一(利用△)：解方程组消去y得：2x2+2bx+b2-4=0①方程①的判别式⊿=(2b)2-4×2(b2-4)=4(2+b)(2-b).22224yxbxy解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=20022bbd圆心到直线的距离为xyO（3）当b2或b-2时，dr，直线与圆相离。（1）当-2b2时，dr,直线与圆相交，（2）当b=2或b=-2时,d=r,直线与圆相切；222222㈠方法探索解法一：（求出交点利用两点间距离公式）xyOAB2522yx2．已知直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值224xy22212121422301717,221717,2217171717(,),(,)2222||14yxyxyxxxxyyABAB由消去得㈡应用提高2522yx解法二：（弦长公式）xyOAB2522yx2．直线y=x+1与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值224xy22212122212122214223031,2||(1)[()4]3(11)[(1)4()]142yxyxyxxxxxxABkxxxx由消去得㈡应用提高2522yx解三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）2221221(1)||214dABrd设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则xyOABdr2522yx2．已知直线x-y+1=0与圆相交于A,B两点，求弦长|AB|的值224xy㈡应用提高解法一：设y-x=b则y=x+b,代入已知，得22222224048(4)4(8)02222xbxbbbbb2222yx的最大值为，最小值为㈢发散创新3．已知实数x,y满足，求y-x的最大与最小值.224xy解法二：222222yx由图象可知，切线的截距最大与最小，易求得切线的截距为，的最大值为，最小值为xyO22,4yxbyxbbyxbxy令即则可视为直线的截距又表示一个圆，㈢发散创新3．已知实数x,y满足，求y-x的最大与最小值.224xy解法三：2cos2sin2sin2cos22sin()4xyyx令则2222yx的最大值为，最小值为㈢发散创新3．已知实数x,y满足，求y-x的最大与最小值.224xy