直线与圆的方程强化训练题

直线与圆的方程强化训练题1、已知直线1l：(2)()()0abxabyab与直线2l：224403mxny．（1）当实数,ab变化时，求证：直线1l过定点，并求出这个定点的坐标；（2）若直线2l通过直线1l的定点，求点(,)mn所在曲线C的方程；（3）在（2）的条件下，设1200(1,0),(1,0),(,0)0FFPxx，过点P的直线交曲线C于,AB两点（,AB两点都在x轴上方），且123FAFB，求此直线的方程．【答案】（1）定点的坐标为(2,3)．（2）2212xy+．（3）PA的方程为220xy+．【解析】本试题主要考查了直线的位置关系的运用，以及求解轨迹方程和直线方程的综合运用．（1）因为直线1l：(2)()()0abxabyab与直线2l：224403mxny．，那么当实数,ab变化时，直线1l表示为过两条直线交点的直线系方程可知其过定点，并求出这个定点的坐标；（2）因为直线2l通过直线1l的定点，则可知点(,)mn所在曲线C的方程；（3）在（2）的条件下，设1200(1,0),(1,0),(,0)0FFPxx，过点P的直线交曲线C于,AB两点(,AB两点都在x轴上方)，且123FAFB，运用向量的共线的知识得到结论．（1）1l的方程化为(21)(1)0xyaxyb+，由题意，210,10,xyxy解得2,3xy．所以定点的坐标为(2,3)．（2）由2l过定点(2,3)，得224(2)3403mn+，化简得2212mn+，所以点(,)mn所在曲线C的方程为2212xy+．（3）因为123FAFB，所以12FAFB，且123FAFB，所以123PFPF，所以0013(1)xx+，所以02x，所以2,0P．设1122,,,AxyBxy，则1112221,,1,FAxyFBxy+，由123FAFB，得121213(1),3,xxyy+①②，又由2211222222,22,xyxy++③④由①②③④解之得110,1xy．所以(0,1)A，所以PA的方程为220xy+．2、设直线l的方程为(1)20()axyaaR．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【答案】(1)20xy．(2)a≤－1．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据直线方程求出它在两坐标轴上的截距，根据它在两坐标轴上的截距相等，求出a的值，即得直线l方程．（Ⅱ）把直线方程化为斜截式为12yaxa（），若l不经过第二象限，则1a或1020aa≥，≤，由此求得实数a的取值范围．解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，截距相等，∴2a，方程即30xy．若2a，由于截距存在，∴221aaa，即11a，∴0a，方程即20xy．(2)法一：将l的方程化为(1)2yaxa，∴欲使l不经过第二象限，当且仅当1020aa∴a≤－1．所以a的取值范围是a≤－1．法二：将l的方程化为(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)，它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0的交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率－(a＋1)≥0时，l不经过第二象限，∴a≤－1．考点：本题主要考查直线方程的一般式，直线在坐标轴上的截距的定义，直线在坐标系中的位置与它的斜率、截距的关系，属于基础题点评:解决该试题的易错点是对于直线在坐标轴上截距相等的理解中，缺少过原点的情况的分析．3、已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程．（1）6110xy（2）230xy（3）6220xy【解析】（1）先根据斜率公式求出AB的斜率，写出点斜式方程再化成一般式即可．（2）先根据中点坐标公式求出中点M的坐标，然后求出AM的斜率，写出点斜式方程再化成一般式方程．（3）根据AB的斜率可求出AB边上的高的斜率，再根据它过点C，从而可求出高线的点斜式方程，再化成一般式即可．4、求满足下列条件的直线l方程（1）直线l过原点且与直线13:13lyx的夹角为6；（2）直线l过直线1:310lxy与2:250lxy的交点，且点(2,1)A到l的距离为22．【答案】（1）030yxy或；（2）1030xyxy或．【解析】本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意直线与直线垂直、直线与直线平行、直线交点等知识点的合理运用．（1）因为直线1l的倾斜角为6，由条件，直线．．的倾斜角应为0或3，所以直线l的斜率03k或，又直线l过原点，所以直线l的方程为：030yxy或（2）由条件设直线l为31(25)0xyxy，整理得(21)(3)150xy，点(2,1)A到l的距离为22解：（1）直线1l的倾斜角为6，由条件，直线l的倾斜角应为0或3，所以直线l的斜率03k或，又直线l过原点，所以直线l的方程为：030yxy或（2）由条件设直线l为31(25)0xyxy，整理得(21)(3)150xy，点(2,1)A到l的距离为22，则224822(21)(3)，解得243或，所以直线l为1030xyxy或5、已知：2(,2),(,1)axbx（1）若//ab，求x;（2）若函数()fxab对应的图象记为C（3）求曲线C在(1,3)A处的切线方程？（II）若直线l为曲线C的切线，并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点，求所有这样直线l的方程？【答案】（1）x=2或0（2）3yx（3）y=2【解析】本试题主要是考查了向量的共线，以及曲线的切线方承担求解，直线与曲线的交点问题的综合运用（1）由于向量共线，那么根据坐标关系式得到参数x的值．（2）由于函数3()2fxabx则由2()3fxx,(1)3,kf得到切线方程．设切点坐标3(,2),Ptt曲线C在P处的切线方程为3223(2)3(),322yttxtytxt即，然后联立方程组，得到参数t的值．解：2(,2),(,1)axbx（1）x=2或0………3分;[x=2给两分]（2）函数3()2fxabx（I）2()3fxx,(1)3,kf曲线C在(1,3)A处的切线方程为33(1),3yxyx即（II）设切点坐标3(,2),Ptt曲线C在P处的切线方程为3223(2)3(),322yttxtytxt即由233322{2ytxtyx得2333222txtx即323320xtxt2()(2)0xtxt22[()(2)0]xtxtxt或者由题意得t=0，l的方程为y=26、若方程22220xmyxy表示两条直线，求m的值．【答案】m=1【解析】解：当m=0时，显然不成立当m0时，配方得2211(1)()1xmymm方程表示两条直线，当且仅当有1－1m=0，即m=17、直线l过点（1，2）和第一，二，四象限，若l的两截距之和为6．求直线l的方程【答案】2x+y-4=0或x=y-3=0【解析】解：设直线l的横截距为a，则纵截距为b-al的方程为1xyaba点(1，2)在直线l上∴1216aa即a2-5a+6=0解得a1=2，a2=3当a=2时，方程124xy，直线经过第一，二，四象限，当a=3时直线的方程为133xy直线l经过第一，二，四象限综上知，直线l的方程为2x+y-4=0或x=y-3=08、求经过点A(1,2)，且满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角的正弦为513；（2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4．【答案】（1）512190xy或512290xy．（2）240xy．【解析】本试题主要是考查了直线方程的求解的运用．（1）设直线倾斜角为[0,)，由5sin13，得12cos13，5tan12当5tan12时，由直线点斜式方程得52(1)12yx，即512190xy；当5tan12时，由直线点斜式方程得52(1)12yx，即512290xy；综上，直线方程为512190xy或512290xy．（2）设直线在x轴、y轴上的截距分别为,(0,0)abab，可设直线方程1xyab，由题意得14,2121abab，解得2,4,ab所以直线方程为124xy，即240xy．9、过点(42)P，作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间．（Ⅰ）3APPB，求直线l的方程；（Ⅱ）求当APPB取得最小值时直线l的方程．【答案】显然直线l的斜率k存在且0k，设l：(4)2ykx，得2(40)Ak，，(024)Bk，．因为P位于AB两点之间，所以244k且242k，所以0k．2(2)APk，，(44)PBk，．（Ⅰ）3APPB，所以23(4)k，所以16k，直线l的方程为6160xy．（Ⅱ）18(()())16APPBkk≥，当1kk即1k时，等号成立．所以当APPB取得最小值时直线l的方程为60xy．10、已知过点A（1，1）且斜率为m（0m）的直线l与,xy轴分别交于,PQ两点，分别过,PQ作直线20xy的垂线，垂足分别为,,RS求四边形PRSQ的面积的最小值．设直线l方程为1(1)ymx，则P（11m），(0,1)Qm从而PR和QS的方程分别为12022(1)0mxyxymm和，又//PRQS112213255mmmmRS，又221,55mmPRQS四边形PRSQ为梯形22119119118()(2)548054805PRSQSmm四边形PRSQ的面积的最小值为18511、求圆22(3)(4)4xy关于原点对称的圆的方程，并求这两个圆的外公切线方程．圆22(3)(4)4xy关于原点对称的圆为22(3)(4)4xy，因为两圆的圆半径相等，所以两条外公切线均与两圆的连心线平行，两圆连心线斜率为43．得两条外公切线方程为430xyc，又圆心到外公切线的距离等于圆半径25c∴，即10c，10c∴．∴两条外公切线方程为43100xy．12、已知A（4，-3）、B（2，-1）和直线L：4x+3Y-2=0，求一点P，使PAPB，且点P到L的距离等于2．【解析】设点P的坐标为（3，-2），kAB=3142=－1，线段的垂直平分线方程为y+2=x-3，即x-y-5=0点P（a，b）在直线x-y-5=0上，故a-b-5=0又22432243ab又两个式子得：14ab或27787ab∴所求的点为P（1，-4）和P（277，-87）．13、直线L在两坐标轴上的截距相等，且p（4，3）到直线L的距离为32，求直线L的方程．【解析】（1）当所求直线经过坐标原点时，设其直线方程为y=kx由243321kk解得k=－63142（2）当直线不经过坐标原点时，设所求方程为1xyaa即x+y－a=0由条件可得：=32解得：a=1或a=13，故所求直线方程为x+y－1=0或x+y－13=0或y=－（63142）x．14、求以三点A（0，2），B（2，0）C