直线与椭圆位置关系(教师版)

业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随1直线与椭圆(教师版)知识与归纳：1..点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)在椭圆12222byax内部的充要条件是1220220byax；在椭圆外部的充要条件是1220220byax；在椭圆上的充要条件是1220220byax.2.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：12222byax，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l与C相离的Δ0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ0.3..计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=221221)()(yyxx=f(k)212212111yykxxk（k为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点1122(,)(,)AxyBxy，在直线(0)ykxbk上，则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)[()4]kxxxx或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)[()4]yyyyk。)一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03ykx与椭圆141622yx的位置关系解：由1416322yxkxy可得02024)14(22kxxk)516(162k业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随2（1）当45450)516(162kkk或即时，直线03ykx与椭圆141622yx相交（2）当45450)516(162kkk或即时，直线03ykx与椭圆141622yx相切（3）当45450)516(162kk即时，直线03ykx与椭圆141622yx相离例题2、若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围解法一：由15122myxkxy可得05510)5(22mkxxmk，0152km即1152km51mm且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5m时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长mb，要使直线与椭圆恒有交点则1m即51m当5m时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长5a可保证直线与椭圆恒有交点即5m综述：51mm且解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022m即1m51mm且[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0（2）直线与椭圆相切0（3）直线与椭圆相离0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点),(ooyxM在椭圆内部或在椭圆上则12222byaxoo二、弦长问题例3、已知椭圆11222yx的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积解法一：由题可知：直线ABl方程为022yx业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随3由1122222yxxy可得04492yy，91044)(2122121yyyyyy9104212121yyFFS解法二：2F到直线AB的距离554h由1122222yxxy可得061692xx，又92101212xxkAB910421hABS[评述]在利用弦长公式212212111yykxxkAB（k为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212121xxeaexaexaPFPFAB时，应结合韦达定理解决问题。例题4、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121xxkAB]4))[(1(212212xxxxk．因为6a，3b，所以33c．因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx．设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而1348]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122．在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随4所以346m．同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB．例题5、已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程．分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21xx，21xx(或21yy，21yy)的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．解：方法一：设所求直线方程为)4(2xky．代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222kxkkxk①设直线与椭圆的交点为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是①的两根，∴14)24(8221kkkxx∵)2,4(P为AB中点，∴14)24(424221kkkxx，21k．∴所求直线方程为082yx．方法二：设直线与椭圆交点),(11yxA，),(22yxB．∵)2,4(P为AB中点，∴821xx，421yy．又∵A，B在椭圆上，∴3642121yx，3642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx，即0))((4))((21212121yyyyxxxx．∴21)(4)(21212121yyxxxxyy．∴直线方程为082yx．方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(yxA，另一个交点)4,8(yxB．∵A、B在椭圆上，∴36422yx①。36)4(4)8(22yx②从而A，B在方程①－②的图形082yx上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为082yx．说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是)0,33(、)0,33(的椭圆截直线082yx所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？例题6、已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx．020161542222mmm，解得2525m．业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随5（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx．根据弦长公式得：51025145211222mm．解得0m．方程为xy．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例题7、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=210，求椭圆方程.【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在y轴上，且对于a、b、c的关系条件未作定性说明，故可设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m0，n0)简便.【规范解答】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m0，n0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1122nymxxy中消去y并依x聚项整理得：(m+n)·x2+2nx+(n-1)=0，Δ=4n2-4(m+n)·(n-1)0，即m+n-mn0，OP⊥OQ等价于x1x2+y1y2=0，将y1=x1+1，y2=x2+1代入得：2x1x2+(x1+x2)+1=0，∴2012)1(2nmnmnnmn①又|PQ|=221221221221)]1()1[()()()(xxxxyyxx＝212212214)(2)(2xxxxxx21014222nmnnmn②联立①②并解之得：21232321nmnm或经检验这两组解都满足Δ0，故所求椭圆方程为x2+3y2=2或3x2+y2=2.【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx2+ny2=1(m0，n0)，m与n的大小关系，决定了焦点位置.三，对称问题例题8、已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线lAB；(2)弦AB的中点M在l上．利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随6解：(法1)设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称，直线AB与l交于),(00yxM点．∵l的斜率4lk，∴设直线AB的方程为nxy41．由方程组,134,4122yxnxy消去y得0481681322nnxx①。∴13821nxx．于是1342210nxxx，13124100nnxy，即点M的坐标为)1312,134(nn．∵点M在直线mxy4上，∴mnn1344．解得mn413．②将式②代入式①得048169261322mmxx③∵A，B是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(22mm．解得1313213132m．(法2)同解法1得出mn413，∴mmx)413(1340，mmmmxy3413)(414134100，即M点坐标为)3,(mm．∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，∴13)3(4)(22mm．解得1313213132m．(法3)设),(11yxA，),(22yxB是椭圆上关于l对称的两点