第2章波动方程

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第二章波动方程本章讨论与波动方程2,0,,0nttuaufaxt−Δ=∈\有关的初值问题和边值问题解的存在性、唯一性和稳定性。波动方程是双曲型方程的典型代表。当时,上述方程就是前面已导出的弦振动方程。达朗贝尔在1746年的论文《紧张的弦振动时形成的曲线的研究》中,导出了这个方程并对1n=0f=的情形得到其通解形式,这便成为偏微分方程理论的开端。§1达朗贝尔(D’Alembert)公式本节讨论一维波动方程的初值问题的达朗贝尔解法。1.齐次方程的通解由第一章§5例1知,弦振动方程20,0,,0,ttxxuauaxt−=∈\可以通过引入特征坐标,,xatxatξη=+=−化为0,uξη=从而,弦振动方程的通解为()()()(),uFGFxatGxatηξ=+=−++其中F和是任意两个二阶连续可微的单变量函数,方程的两族特征线和分别称为右行特征线和左行特征线。G1xatc−=2xatc+=当时,则0G=(),0uFxata=−显然是弦振动方程的解。给以不同的值,就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相应位置。在时,对应于初始的振动状态,而t0t=()uFx=()uFxat=−作为(),xu平面上的曲线是曲线向右平移了个单位,所以齐次弦振动方程的形如()uFx=at()Fxat−的解所描述的运动规律,称为右行波,a是传播速度。同样,形如的解,称为左行波。因此一维齐次波动方程的通解是右行波和左行波的叠加,其中是行波的传播速度。故由一维齐次波动方程的通解求其定解问题的特解的方法又称为行波法。()Gxat+a一维齐次波动方程的解具有如下性质:1引理1.1设(),uxt是齐次波动方程20ttxxuau−=的解,,AC和,BD是由波动方程的特征线在解域中构成的平行四边形的两对对顶点(如图),则()()()().uAuCuBuD+=+证明设平行四边形的顶点坐标分别为()()()112233,,,,,AxtBxtCxt和()44,Dxt,由于它们是特征线的交点,所以有114433442233112,,,,xatxatxatxatxatxatxatxat+=+−=−+=+−=−2利用通解公式可得()()()()()()()()()()()()1111333322224444,,uAuCFxatGxatFxatGxatuBuDFxatGxatFxatGxat+=−+++−+++=−+++−++∈引理证毕。2.齐次方程的初值问题(Cauchy问题)考察问题()()()()20,,0,,0,,0,.ttxxtuauxtuxxuxxxϕψ⎧−=∈⎪⎨==⎪⎩\\(1.1)利用齐次波动方程的通解表达式:()()(),,uxtFxatGxat=−++再由(1.1)中的初始条件可得()()()(),0,uxFxGxxϕ=+=()()()(),0,tuxaFxaGxxψ′′=−+=将上式积分一次有()()()()()0001,xxGxFxdGxFxaψξξ−=+−∫从而可解出F和G:()()()()()000111,222xxFxxdGxFxaϕψξξ⎡⎤=−−−⎣⎦∫()()()()()000111,222xxGxxdGxFxaϕψξξ⎡⎤=++−⎣⎦∫因此Cauchy问题的解为2()()()()11,.22xatxatuxtxatxatdaϕϕ+−⎡⎤=−+++⎣⎦∫ψξξ(1.2)通解的表达式是D’Alembert给出的,而Cauchy问题的求解公式是由Euler在1748年得到的,人们称之为D’Alembert公式。注D’Alembert公式可以改写为对称形式()()()1,.2xatxatxatxatuxtddatϕξξψξξ++−−∂⎧⎫=+⎨⎬∂⎩⎭∫∫直接验证可得定理1.1设()()21,,CCϕψ∈∈\\),则Cauchy问题(1.1)存在唯一的解它由D’Alembert公式给出,且()(2,uxtC+∈×\\(),uxt连续依赖于初始函数ϕ和.ψ由D’Alembert公式可直接得到解在有限时间[]0,T内的估计式为()()(),sup,supsup,xtxxuxtxTxϕψ≤+其中[],0,.xtT∈∈\利用此估计式可得Cauchy问题(1.1)的解对初值的连续依赖性。设有下面两个初值问题()()()()21,1,111,10,,0,,0,,0,,ttxxtuauxtuxxuxxxϕψ⎧−=∈⎪⎨==⎪⎩\\∈∈()()()()22,2,222,20,,0,,0,,0,.ttxxtuauxtuxxuxxxϕψ⎧−=∈⎪⎨==⎪⎩\\令则12,wuu=−(),wxt满足()()212120,,0,,0,,0,.ttxxtwawxtwxwxxϕϕψψ⎧−=∈⎪⎨=−=−∈⎪⎩\\由上面的估计式得()()()()()1212,sup,supsup.xtxxwxtxxTxxϕϕψψ≤−+−所以在连续函数空间的范数意义下,若初值变化很小,则相应的解的变化也很小,即解是稳定的。从D’Alembert公式可见,Cauchy问题的解在点u(),xt处的值由ϕ在点xat−和点xat+处的值以及ψ在区间[],xatxat−+上的值唯一确定,而与[],xatxat−+外的初值无关。这个区间[],xatxat−+称为点(),xt的依赖区间。它是过点(,)xt分别作斜率3为1a±的直线(特征线)与x轴所交截而得的区间。对轴上的某区间x12,xx⎡⎣⎤⎦,过点()1,0x作右特征线1xxat=+,过点作左特征线,它们和轴上的线段(2,0x)2xxat=−x12,xx⎡⎤⎣⎦一起围成特征三角形,此三角形区域中的任一点(),xt的依赖区间都是区间12,xx⎡⎤⎣⎦的子集。因此,Cauchy问题的解在此三角形区域中的任一点u(),xt的值完全由区间12,xx⎡⎤⎣⎦上的初始条件决定,而与此区间外的初始条件无关。称这个三角形区域为区间12,xx⎡⎤⎣⎦的决定区域。对轴上的某区间x12,xx⎡⎣⎤⎦,过点()1,0x作左特征线1xxat=−,过点作右特征线,它们和轴上的线段(2,0x)2xxat=+x12,xx⎡⎤⎣⎦一起围成梯形区域(){}12,:,0.Qxtxatxxatt=−≤≤+)在内的任一点(Q,xt的依赖区间都与区间12,xx⎡⎤⎣⎦的交集非空,从而,Cauchy问题的解在内的任一点uQ(,)xt的值与区间12,xx⎡⎤⎣⎦上的初值有关;在Q外的任一点(),xt的依赖区间都与区间12,xx⎡⎣⎤⎦的交集是空集,从而,Cauchy问题的解在外的任一点uQ(),xt的值与区间12,xx⎡⎣⎤⎦,上的初值无关。因此称区域为区间Q12xx⎡⎤⎣⎦∈2的影响区域。由上述讨论可知,两条特征线对一维波动方程的研究起着重要作用,因此这种解法也称为特征线法。此方法适用于两个变量的双曲型方程。3.非齐次方程的初值问题考察强迫振动情形的初值问题()()()()()2,,,0,,0,,0,.ttxxtuaufxtxtuxxuxxxϕψ⎧−=∈⎪⎨==⎪⎩\\(1.3)由叠加原理,令,其中满足初值问题(1.1),且可由D’Alembert公式(1.2)直接给出1uuu=+1u()()()11,.2xatxatxatxatuxtddatϕξξψξξ++−−∂⎧⎫=+⎨⎬∂⎩⎭∫∫2u满足非齐次方程的初值问题4()()()2,,,0,,00,,00,.ttxxtuaufxtxtuxuxx⎧−=∈⎪⎨==⎪⎩\\∈(1.4)为了求解(1.4),首先求解()()()20,,0,,;0,,;,,.ttxxtttwawxtwxtwxtfxxττττττ==⎧−=∈⎪⎨==⎪⎩\\∈(1.5)作自变量变换ttτ′=−,则(1.5)化成,()2000,,0,0,,,ttxxtttwawxtwwfxxτ′′′′′==′⎧−=∈⎪⎨==⎪⎩\\∈(1.6)的形式,于是再利用D’Alembert公式有()()()()()11,;,,.22xatxatxatxatwxtfdfdaaτττξτξξτξ′++−′−−−==∫∫从而由齐次化原理可知(1.4)的解为()()()()201,,2txatxatuxtd,fdaτττξτξ+−−−=∫∫最后得到(1.3)的解为()()()()()()01,,,2xatxattxatxatxatxatuxtdddfdatττϕξξψξξτξτξ+++−−−−−∂⎧⎫=++⎨⎬∂⎩⎭∫∫∫∫(1.7)定理1.2设()()()()211,,,CCfxtCϕψ+∈∈∈×\\\\,则Cauchy问题(1.3)存在唯一的解()()2,uxtC+∈×\\,它由D’Alembert公式(1.7)给出,且在有限时间内是一致稳定的(按连续函数空间的范数)。下面举例说明本节所讲方法的应用例1一维齐次波动方程的半无界问题()()()()()()20,0,0,,0,,0,0,0,,0,ttxxtuauxtuxxuxxxutttϕψγ⎧−=⎪==⎨⎪=⎩≥.其中()()00ϕγ=解法1(通解法)齐次波动方程的通解为()()(),,uxtFxatGxat=−++利用定解条件可得()()()()()()()()(),,.FxGxxaFxaGxxFatGattϕψγ′′+=−+=−+=由此可得5()()()()()000111,222xxFxxdGxFxaϕψξξ⎡⎤=−−−⎣⎦∫()()()()()000111,222xxGxxdGxFxaϕψξξ⎡⎤=++−⎣⎦∫()(),0.xFxGxxaγ⎛⎞−+=≥⎜⎟⎝⎠因此,当时,解为xat≥()()()1,.2xatxatxatxatuxtddatϕξξψξξ++−−∂⎧⎫=+⎨⎬∂⎩⎭∫∫当0xat≤时,解为()()()()(,xatuxtFxatGxatGxatGxataγ−+⎛⎞=−++=−−+++⎜⎟⎝⎠)()()()11.22atxatxatxatxatxdaaγϕϕψξ+−−⎛⎞⎡⎤=++−−+⎜⎟⎣⎦⎝⎠∫ξ综合上述过程可得定解问题的解为:()()()()()1,,2,1,0.2xatxatxatxatatxatxatxatxddxatuxtatxddaatϕξξψξξγϕξξψξξ++−−++−−⎧∂⎡⎤+≥⎪⎢⎥∂⎪⎣⎦=⎨−∂⎛⎞⎡⎤⎪++⎜⎟⎢⎥⎪∂⎝⎠⎣⎦⎩∫∫∫∫atxat≤(1.8)解的物理意义:解分两段给出,从行波的角度来看,当xta时,由端点产生的反射波还没有传到x处,所以其结果与无界情况相同;当xta时,反射波()()()011,22reatxatxuxtatxdaaγϕψ−−⎛⎞=−−+⎜⎟⎝⎠∫ξξ已经传到处,同时右行波x()()()011,22rixatuxtxatdaϕψξξ−=−+∫已在处消失。x注波的反射前面研究了无界弦中波的传播情形,现在考察弦线的一个端点(假设为左端点)为固定的情形。当一个左传播波从右边传到此固定点时,由于此端点是固定的,它限制了弦线的振动,给弦线以反作用力,使原来的波反回去而产生一个右传播波。这种现象称为波的反射。所产生的右传播波就称为反射波。6假设固定端点为原点,而左传播波表示为0x=(),fxat+它在120xxatx≤+≤以外恒为零。为了计算端点产生的反射波,设想端点并不是固定不动的,而是在它的左边也有弦线,在这弦线上有向右传播的另外一个波(),gxat−它在原点和波()fxat+处处抵消。这个虚设的波()gxat−给端点的作用,正好和原来的波()fxat+对端点的作用相抵消。这样的设想就和固定端点反作用所产生的效果完全一样,因此端点反作用力所产生的波就应等于这虚设的波(.)gxat−这个波是很容易求得的,利用它和波()fxat+在原点叠加的效果应该为零,就得到()()0,gatfat−+=因此()()0,gxatfxat−=−−+=)它就是波(fxat+的反射波。利用上述反射波的方法可以求解半有界直线以及有线长线段上的弦振动问题。解法2(延拓法)由于初始函数()(),xxϕψ仅在时有定义,故不能直接应用0x≥D’Alem

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