高中数学必修5不等式3试题

1一元二次不等式及其解法1．二次函数的图象及性质:二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，．2．二次函数的解析式的三种形式：2()fxaxbxc（一般式）；12()()()fxaxxxx（零点式）；nmxaxf2)()(（顶点式）．3．一元二次不等式的解法一元二次不等式20axbxc200axbxca或的解集：设相应的一元二次方程20axbxc0a的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx4．解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=cbxax20(或0)(a0)；(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；(3)写出解集．5．讨论二次函数02acbxaxy在指定区间qp,上的最值问题：(1)注意对称轴abx2与区间qp,的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴2ba在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴2ba在区间之内；③对称轴2ba在区间右边．（2）函数02acbxaxy在区间qp,上的单调性．要注意系数a的符号对抛物线开口的影响．6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．三、典型例题选讲题型1：考查一元二次函数的性质例1函数2([0,))yxbxcx是单调函数的充要条件是（）A．0bB．0bC．0bD．0b2解：∵函数2([0,))yxbxcx的对称轴为2bx，∴函数2([0,)yxbxcx）是单调函数-(0,)2b02b，0b．故选A．归纳小结：二次函数的单调区间是(,]2ba和[,)2ba，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出b的范围．例2已知二次函数的对称轴为2x，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析．解：∵二次函数的对称轴为2x，可设所求函数为2()(2)fxaxb，∵()fx截x轴上的弦长为4，∴()fx过点(22,0)和(22,0)，()fx又过点(0,1)，∴4021abab，解之得122ab，∴21()(2)22fxx．归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．题型2：简单不等式的求解问题例3求下列不等式的解集．（1）01442xx；（2）0322xx解法一：因为210144,0212xxxx的解是方程．所以，原不等式的解集是21xx．解法二：整理，得0322xx．因为032,02xx方程无实数解，所以不等式0322xx的解集是．从而，原不等式的解集是．归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．例4不等式022bxax的解集为21xx，求a与b的值．解法一：设022bxax的两根为1x、2x，由韦达定理得：axxabxx22121由题意得21221aab∴1a，1b，此时满足0a，0)2(42ab．解法二：构造解集为21xx的一元二次不等式：0)2)(1(xx，即022xx，此不等式与原不等式022bxax应为同解不等式，故1a，1b．归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为21xx，不等式022bxax需满足条件0a，0，022bxax的两根为11x，22x．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．题型3：含参不等式的求解问题例5解关于x的不等式01)1(2xaax．证：分以下情况讨论(1)当0a时，原不等式变为：01x，∴1x，即不等式的解集为{|1}xx(2)当0a时，原不等式变为：0)1)(1(xax①①当0a时，①式变为0)1)(1(xax，∴不等式的解为1x或ax1．即不等式的解集为1{|1}xxxa或；②当0a时，①式变为0)1)(1(xax．②，∵aaa111，∴当10a时，11a，此时②的解为ax11．即不等式的解集为1{|1}xxa；当1a时，11a，此时②的解为．3当1a时，11a，即不等式的解集为1{|1}xxa．归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：11100000aaaaaaaRa分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0a时，解一元二次不等式01)1(2xaax应首选做到将二次项系数变为正数再求解．题型4：一元二次不等式的应用例6（1）（2008天津卷理）已知函数0101xxxxxf，则不等式111xfxx的解集是（）A．121|xxB．1|xxC．12|xxD．1212|xx解：依题意得11010(1)()(1)1xxxxxxxx或所以121121Rxxxx或112112xxx或，选C．（2）（2007重庆理）若函数f(x)=1222aaxx的定义域为R，则a的取值范围为_______．解：函数22()21xaxafx的定义域为R，对一切xR都有2221xaxa恒成立，即220xaxa恒成立，0成立，即2440aa，10a，故选A．归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．例7已知函数21sinsin42ayxax的最大值为2，求a的值．解：令sintx，[1,1]t，∴221()(2)24aytaa，对称轴为2at，当112a，即22a时，2max1(2)24yaa，得2a或3a（舍去）．当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]上单调递增，由max111242yaa，得103a；当12a，即2a时，函数221()(2)24aytaa在[1,1]上单调递减，由max111242yaa，得2a（舍去）．综上可得，a的值为2a或103a．归纳小结：令sintx，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间[1,1]的三种位置关系的讨论就可求得a的值．此题中要注意0a的条件．例8设不等式2220xaxa的解集为M，如果M[1,4]，求实数a的取值范围？解：M[1,4]有两种情况：其一是M=，此时＜0；其二是M≠，此时=0或＞0，分三种情况计算a的取值范围．设2()22fxxaxa，有=2(2)4(2)aa=24(2)aa，当＜0时，－1＜a＜2，M=[1,4]；当=0时，a=－1或2；当a=－1时M={1}[1,4]；当a=2时，m={2}[1,4]当＞0时，a＜－1或a＞2．设方程()0fx的两根1x，2x，且1x＜2x，那么M=［1x，2x］，M[1,4]1≤x1＜x24≤40,410)4(,0)1(且且aff，即301870012aaaaa，，，或，解得2＜a＜718，∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，718)．