高数定理证明

高数定理证明1极限与连续1.1预备知识1.1.1确界存在定理：若非空数集DR有上（下）界，则D必存在上（下）确界。1.2数列极限1.2.1唯一性：若数列nx收敛，则nx的极限是唯一的。1.2.2有界性：若数列nx收敛，则nx必有界。1.2.3保号性：若limnnxA，则0A，则NZ，使得当nN时，有02nAx。1.2.4归并性：数列nx收敛于A的充分必要条件是nx的任一子列也收敛于A。1.2.5设lim,limnnnnxAyB，则：（1）lim()limlimnnnnnnnxyxyAB；（2）lim()limlimnnnnnnnxyxyAB；（3）limlimlimnnnnnnnxxAyyB（这里lim0nnBy）。1.2.6夹逼准则：如果数列,,nnnxyz满足：NZ，使得当nN时，有nnnyxz≤≤，且limlimnnnnyzA，则limnnxA。1.2.7单调有界原理：单调有界数列必有极限。1.2.8柯西收敛准则：数列nx收敛的充分必要条件是：对0ε，0NZ，只要0,mnN时，就有mnxxε。或者说：对0ε，0NZ，只要0nN时，npnxxε对所有的pZ成立。1.3函数极限的性质和运算法则1.3.1（极限唯一性）如果0lim()xxfx存在，则极限唯一。1.3.2（函数局部有界性）若极限0lim()xxfx存在，则在点0x的某个去心邻域0(,)Uxδ内，函数()fx有界，即有正数δ和M使得：0(),(,)fxMxUxδ≤。1.3.3（函数局部保号性）（1）若极限0lim()0(0)xxfxAA，则存在0x的某去心邻域0(,)Uxδ，当0(,)xUxδ时有()0(()0)fxfx；（2）若()0(()0)fxfx≥≤，且0lim()xxfxA，则必有0(0)AA≥≤。1.3.4设00lim(),lim()xxxxfxAgxB，则有：（1）0lim[()()]xxfxgx存在且000lim[()()]lim()lim()xxxxxxfxgxfxgxAB；（2）0lim[()()]xxfxgx存在且000lim[()()]lim()lim()xxxxxxfxgxfxgxAB；（3）若0lim()0xxgxB则000lim()()lim()lim()xxxxxxfxfxAgxgxB。（4）00lim[()]lim()xxxxcfxcfx（c为常数）（5）00lim[()]lim()nnxxxxfxfx（6）设(),()PxQx均为多项式，且0()0Qx，则000()()lim()()xxPxPxQxQx。1.3.5设00lim()ttφtx，0lim()xxfxA，且在0t的某个去心邻域内有0()φtx，则0lim(())ttfφtA。1.4函数极限存在条件1.4.1（归结定理）设()yfx在0x的某个去心邻域0()Ux内有定义，则极限0lim()xxfxA的充分必要条件是：对于任何含于0()Ux且以0x为极限的数列nx，都有lim()nnfxA。1.4.2（夹逼准则）如果函数()fx，()gx，()hx满足下列条件：（1）当0()xUx时有()gx≤()fx≤()hx；（2）当0xx时，有()gxA，()hxA。两个重要极限：（1）0sinlim1xxx；（2）1lim1xxex。1.4.3（柯西收敛准则）设函数在0(,')Uxδ内有定义，0lim()xxfx存在的充分必要条件是：对0ε，(')0δδ，使得0',''(,)xxUxδ有，|(')('')|fxfxε。1.5无穷小与无穷大1.5.10lim()xxfxA的充分必要条件是：()()fxAαx，其中()αx在0xx时是无穷小。1.5.2（1）有限个无穷小的和仍然是无穷小；（2）有界函数与无穷小的积仍然是无穷小，从而常数与无穷小之积仍然是无穷小；（3）有限个无穷小的积仍然是无穷小；1.5.3若()βx和()0αx都是同一个极限过程的无穷小，则在这个极限过程中，有~()abβαoα。1.6函数的连续性与间断点1.6.1函数()fx在点0x处连续的充要条件是：()fx在点0x处既左连续又右连续。1.6.2（局部有界性）若()fx在0x处连续，则()fx在0x的某邻域0()Ux有界。1.6.3（函数局部保号性）若()fx在0x处连续，且()0(0)fx，则对任何正数00(0,())(((),0)rfxrfx存在某0()Ux有()0(()0)fxrfxr，对0()xUx。1.6.4若()fx，()gx均在0x连续，则()()fxgx、()()fxgx、()()fxgx（要求0()0gx）都在0x连续。1.6.5（反函数的连续性）如果()yfx在(,)ab内严格单调连续，当(,)xab时，yI，则存在定义在区间I上的反函数1()yfx，且反函数也是严格单调连续的。1.7闭区间上连续函数的性质1.7.1（最大值最小值定理）闭区间[,]ab上的连续函数()yfx在区间上取得最大值和最小值。1.7.2（有界性定理）若()fx在[,]ab上连续，则()fx在[,]ab上有界。1.7.3（零点定理）设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()()0fafb，则至少存在一点(,)ξab，使得()0fξ。1.7.4（介值定理）设()fx在[,]ab上连续，且()()fafb，则对于介于()fa和()fb之间的任意一个数A，总存在[,]ξab使()fξA。1.8一致连续性1.8.1若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则()fx在[,]ab一致连续。2导数与微分2.1导数的概念2.2函数的求导法则：2.2.1导数的四则运算2.2.2（反函数的求导法则）设()xφy单调、可导，且'()0φy，则反函数()yfx存在且可导，有d1dddyxxy，或1'()'()fxφy。2.2.3（复合函数求导法则）2.2.4基本初等函数的求导公式：(1)()'0C(2)1()'nnxnx(3)1(log)'lnaxxa(4)1(ln)'xx(5))lnxxaaa（(6)()'xxee(7)(sin)'cosxx(8)(cos)'sinxx(9)2(tan)'secxx(10)2(cot)'cscxx(11)(sec)'sectanxxx(12)(csc)'csccotxxx(13)21(arcsin)'1xx(14)21(arccos)'1xx(15)21(arctan)'1xx(16)21(arccot)'1xx(17)'(sh)'ch2xxeexx(18)'(ch)'sh2xxeexx(19)2'1(th)'(ch)xxxxeexeex(20)22'1(arsh)'ln(1)1xxxx(21)22'1(arch)'ln(1)1xxxx(22)2'111(arth)'ln211xxxx2.2.5