随机过程第四版研究生上课课件-刘次华Ch1

参考教材随机过程（第四版）刘次华编著华中科技大学出版社随机事件随机变量随机过程引例在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,求击中3次的概率.X表示击中目标的次数.5)4.0(44.06.015324.06.025234.06.0354.06.045456.0Xkp012345第一章概率论基础一维随机变量随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律密度函数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的数字特征定义数学期望差方定义联合分布函数联合分布律联合概率密度边缘分布条件分布两个随机变量的函数的分布随机变量的相互独立性定义性质二维随机变量推广二维随机变量数字特征1.1概率空间随机试验：可重复、可预见、不确定样本空间：随机试验所有可能结果的集合样本点：e事件：A基本事件：只包含一个样本点的事件必然事件：不可能事件：事件运算：并、交、差、（上、下）极限实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.}.6,5,4,3,2,1{}.5,3,1{A的子集{2,4,6}B都为随机事件.骰子“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”,“点数不大于6”,“点数为偶数”等都为随机事件.={0,1,2,…}；记A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察某路公交车某站候车人数，B＝{至少有0人候车}=,为必然事件C＝{有1.5人候车}=Φ,为不可能事件，Φ不包含任何样本点。1.1概率空间定义1.1-代数(事件域)集合的某些子集组成集合族F（1）F（必然事件）（2）若AF,则\AF（对立事件）（3）若AiF,i=1,2…，则F（可列并事件）称F为-代数，（，F）为可测空间1iiA例投掷一次骰子试验，ei表示出现i点，={e1,e2,e3,e4,e5,e6}F={，{e1,e2,e3}，{e4,e5,e6}，}F为-代数，（，F）为可测空间F‘={，}的所有子集的集合1.1概率空间例：连续投掷两次硬币试验={正正，正反，反正，反反}1.1概率空间F1={，{正正}，{正反，反正，反反}，}F2={，{正正}，{正反}，{正正，正反}，{反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}F3={，{反正}，{反反}，{反正，反反}，{正正，正反}，{正正，正反，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反正，反反}}F4={，{正反}，{正正，反正，反反}，}Fi为-代数，（，Fi）为可测空间F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}为-代数，（，F）为可测空间1.1概率空间•可测空间的性质设（，F）为可测空间,则（4）F（不可能事件）（5）若A,BF,则A\BF（差事件）（6）若AiF,则F（有限并，有限交，可列交事件）111,,iiniiniiAAA1.1概率空间•定义1.2概率空间：设（，F）为可测空间,映射P：FR，A|P（A）满足(1)任意AF，0P（A）1(2)P（）=1(3)称P是(,F)上的概率，(,F,P)为概率空间，P(A)为事件A的概率。),(,)(11jiAAAPPjiiiiiA1.1概率空间•概率空间的性质设(,F,P)为概率空间，则（4）P（）=0（5）P（B\A）=P(B)-P(A),(AB)（6）nnnnnnnnAAAAPAAAAPAP211211,,)(lim乘法公式和全概率公式•乘法公式:P(AB)=P(B|A)P(A)•全概率公式：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+…其中A1，A2…为完备事件族•练习：袋中有2个红球，3个白球，从中不放回的接连取出两个球。求第二次取出红球的概率。•解：设A1表示第一次取出红球，A2表示第一次取出白球，B表示第二次取出红球。那么•P（B）=P（BA1）+P（BA2）•=P（B|A1）P(A1)+P（B|A2）P(A2)•=1/4*2/5+2/4*3/5•=2/52/51/42/43/51.1概率空间•设(,F,P)为概率空间，F1F，若对任意A1,A2,,AnF1，n=2,3,，有则称F1为独立事件族,或称F1中的事件相互独立。事件A,B独立，有P(AB)=P(A)P(B)niiniiAPAP11)(独立事件1.1概率空间事件A,B,C相互独立，有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)1.2随机变量及其分布•定义1.4设(,F,P)为概率空间，映射X：R，eX（e）满足任意xR，{e:X(e)x}F，则称X(e)是F上的随机变量，简记X。对xR，称F(x)=P{e:X(e)x}为随机变量X的分布函数。1.2随机变量及其分布例投掷两枚硬币试验，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}为-代数，（，F）为可测空间P{}=0，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4…，P{}=1，(,F,P)为概率空间映射X：R，X(正正)=2，X(正反)=X(反正)=1，X(反反)=0（1）x0，{e:X(e)x}=F（2）0x1，{e:X(e)x}={反反}F（3）1x2，{e:X(e)x}={正反,反正,反反}F（4）x≥2，{e:X(e)x}={正正，正反,反正,反反}FX为随机变量1.2随机变量及其分布分布函数为即21}{21}{10,}{0,0)(})(:{)(4341xPxPxPxPxeXePxF，反正正，正反，反正，反，正反，反正，反反反反2121,10,0,0}{)(4341xxxxxXPxF，1.2随机变量及其分布•分布函数的性质：（1）单调性：若x1x2，则F(x1)F(x2)（2），（3）F(x)右连续，F(x+0)=F(x)这三个性质完全刻划了分布函数0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx1.2随机变量及其分布•随机变量：离散型，连续型•离散型随机变量X的概率分布用分布律（列）描述：P(X=xk)=pk，k=1,2,分布函数•常见离散型随机变量X及其分布律(1)0-1分布P(X=1)=p，P(X=0)=q，0p1，p+q=1xxkkpxF)(1.2随机变量及其分布(2)二项分布P(X=k)=，0p1,p+q=1,k=0,1,2,,n(3)泊松分布P(X=k)=，0，k=0,1,2,(4)几何分布P(X=k)=，0p1,p+q=1,k=1,2,knkknqpCekk!1kpq常见的离散型随机变量分布分布律期望方差0-1分布ppq二项分布npnpq泊松分布几何分布1/pq/p2负二项分布k/pkq/p2离散均匀分布(a+b)/21,10,)0(,)1(qppqXPpXPnkqppqpCkXPknkkn,,1,0,1,10,)(,1,0,0,!)(kekkXPk,1,0,1,10,)(1kqpppqkXPkkjqppqpCjXPknkkj,1,10,)(11ninnabiaXP,,1,0,11nabn12))(2(21.2随机变量及其分布•连续型随机变量X的概率分布用概率密度函数f(x)描述分布函数•常见连续型随机变量X及其概率密度(1)均匀分布xttfxFd)()(其它,0,1)(bxaabxf1.2随机变量及其分布(2)正态分布(3)指数分布222)(21)(xexf00,00,)(xxexfx1.2随机变量及其分布(1)n维随机变量及其分布函数的定义(2)n维离散型随机变量和连续性随机变量----联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布----边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度(4)独立性n维随机变量及其概率分布•n维随机变量及其概率分布定义1.5设(,F,P)为概率空间，X=X(e)=(X1(e),X2(e),,Xn(e))是定义在上的n维空间Rn中取值的向量函数,如果对任意的x=(x1,x2,,xn)Rn，{e:X1(e)x1,X2(e)x2,,Xn(e)xn}F，则称X(e)是F上的n维随机变量，简记为X=(X1,X2,,Xn)。1.2随机变量及其分布1.2随机变量及其分布对x=(x1,x2,,xn)Rn，称F(x)=F(x1,x2,,xn)=P{e:X1(e)x1,X2(e)x2,,Xn(e)xn}为n维随机变量X=(X1,X2,,Xn)的联合分布函数1.2随机变量及其分布•n维联合分布函数F(x1,x2,,xn)的性质(1)对于每个变元xi(i=1,2,,n)，F(x1,x2,,xn)是非降函数(2)对于每个变元xi(i=1,2,,n)，F(x1,x2,,xn)是右连续的1.2随机变量及其分布(3)对于Rn的区域(a1,b1;a2,b2;;an,bn)，其中aibi(i=1,2,,n),F(b1,b2,,bn)-+++(-1)nF(a1,a2,,an)0niniiibbabbbF11121),,,,,,,(njinjjjiiibbabbabbbF1,111121),,,,,,,,,,,(1.2随机变量及其分布对于n=2F(b1,b2)-F(a1,b2)-F(b1,a2)+F(a1,a2)0yb2a2xa1b11.2随机变量及其分布对于n=3F(b1,b2,b3)-F(a1,b2,b3)-F(b1,a2,b3)-F(b1,b2,a3)+F(a1,a2,b3)+F(a1,b2,a3)+F(b1,a2,a3)-F(a1,a2,a3)01.2随机变量及其分布(4)1),,,(lim,,2,1,0),,,,,(lim212121nxxxnixxxxFnixxxxFni1.2随机变量及其分布(1)n维随机变量及其分布的定义(2)n维离散型随机变量和连续型随机变量----联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布----边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度(4)独立性n维随机变量及其概率分布1.2随机变量及其分布•n维离散型随机变量X=(X1,X2,,Xn)Xi都是离散型随机变量(i=1,2,,n)X=(X1,X2,,Xn)的联合分布律为P(X1=x1,X2=x2,,Xn=xn)=其中xiIi是离散集，i=1,2,,nX=(X1,X2,,Xn)的联合分布函数为(y1,y2,,yn)Rnnxxp,,1niyxxxniinpyyyF,,1,,211),,,(.,),(,,2,1,,},{,,2,1,),,()