1.4 角平分线的性质

1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.探究如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P,作PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D,E,试问PD与PE相等吗？你能证明吗？将∠AOB沿OC对折，我发现PD与重合，即PD与PE相等我们来证明这个结论：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP,∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.由此得到角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别为点D,E.若PD=PE,那么点P在∠AOB的平分线上吗？动脑筋如图，过点O,P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP,PD=PE,∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线上.证明（1）在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD,BC⊥CD,∴点B在∠ADC的平分线上.例题（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC,BD=BD,∴Rt△BAD和Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线.1.如图，在直线MN上求作一点P,使点P到∠AOB两边的距离相等.练习解：作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与MN交于一点，如图1所示：点P即为所求.图12.如图，在△ABC中，AD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,BD=CD.求证：AB=AC.证明：∵AD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,∴DE=DF.∵BD=CD,∴Rt△DBE≌Rt△DCF.∴∠B=∠C.∴AB=AC.•今天这堂课学了什么内容？反思小结1.角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.1.4角平分线的性质第2课时角平分线的判定如图，已知EF⊥CD,EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？动脑筋可以添加条件MN=ME(或MN=MF).∵ME⊥CD,MN⊥CA,∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.同理可得AM是∠CAB的平分线.例如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB,PF⊥AC，垂足分别为点E,F.试探索BE+PF与PB的大小关系.解∵AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB,PF⊥AC，∴PE=PF.在△EBP中，BE+PEPB，∴BE+PFPB.例题如图，你能在△ABC中找到一点P,使其到三边的距离都相等吗？动脑筋因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点，点P也在∠C的平分线上，如图.1.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，求证：（1）∠ECD=∠EDC;（2）OC=OD.练习解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，∴CE=DE.∴∠ECD=∠EDC.（2）在Rt△COE和Rt△DOE中，CE=DE，OE=OE.∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL).∴OC=OD.2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC,BC分别平分∠BAD,∠ABE，点C在线段DE上，求证：AB=AD+BE.练习解：过C作CF⊥AB于F.∵AC,BC分别平分∠BAD,∠ABE，且AD⊥DE，BE⊥DE,∴DC=CF,CE=CF.∴Rt△ACD≌Rt△ACF(HL),Rt△BCE≌Rt△BCF(HL).∴AD=AF,BE=BF.∴AB=AF+BF=AD+BE.F已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB.DFECBA应用与提高证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90°,∴CD＝DE.在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,CD=DE,DF=DB,∴Rt△CDF≌Rt△EDB.∴CF=EB.