第2章概率论

第2章习题同步解析1.下列给出的两个数列，是否为随机变量的分布律，并说明理由．（1）5,4,3,2,1,0,15iipi；（2）3,2,1,0,652iipi；（3）5,4,3,2,1,251iipi解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证ip是否满足下列两个条件：①,2,1,0ipi，②1iip．依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为0646953p；（3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为5112520iip．2.一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，求X的概率分布．解依题意X可能取到的值为3,4,5，事件3X表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即3511{3}10PXC；事件4X表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1,2,3号球中任选，此时233513{4}10CPXC；同理可得243516{5}10CPXC．X的分布律为X345P1011031063.某射手有5发子弹，现对一目标进行射击，每次射击命中率为7.0，如果击中就停止射击，如果不中就一直射击到子弹用尽，求子弹剩余数的分布列．解令X表示子弹剩余的数目，则X可能取值0,1,2,3,4，根据题意得2{4}0.7;{3}0.30.70.21;{2}0.30.70.063PXPXPX431{1}0.30.70.0189;{0}1{}0.0081iPXPXPXiX的分布律为X1234P0.00810.01890.210.74.试确定常数c，使{},0,1,2,3,42icPXii成为某个随机变量X的分布律，并求：{2}PX；1522PX．解要使ic2成为某个随机变量的分布律，必须有1240iic，由此解得3116c；（2）{2}{0}{1}{2}PXPXPXPX3128412113116（3）15{1}{2}22PXPXPX311241213116．5.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有3,3,1,1,1,2这样的数字．从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数．解X可能取的值为3,1,2，且111{3},{1},{2}326PXPXPX，即X的分布律为X-312P312161X的分布函数0,3,1,31,3{}5,12,61,2.xxFxPXxxx6.设离散型随机变量X的分布函数为0,10.4,110.8,131,3xxFxxx，求X的分布律．解可以看出X取值为1,1,3，且X在每点取值的概率是该点的跳跃高度，所以{1}(1)(10)(1)(0)0.400.4PXFFFF；{1}(1)(10)(1)(1)0.8040.4PXFFFF；{3}(3)(30)(3)(1)10.80.2PXFFFF．所以其分布列为X-112P0.40.40.27.设随机变量~(6,)XBp，已知{1}{5}PXPX，求p与{2}PX的值．解由于~(6,)XBp，因此66{6}1,0,1,,6kkkPXCppk．由此可算得55{1}6(1),{5}6(1),PXppPXpp即556(1)6(1),pppp解得21p；此时，262261115{2}2264PXC．8.有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率．解设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从0001.0,1000pn的二项分布，即~(1000,0.0001)XB，由于n较大，p较小，因此也可以近似地认为X服从1.00001.01000np的泊松分布，即~(0.1)XP，所求概率为010.10.1{2}1{0}{1}0.10.110!1!10.9048370.0904840.004679.PXPXPXee9.一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求(1)某一分钟恰有8次呼唤的概率；(2)某一分钟的呼唤的次数大于3的概率．解设X为电话总机每分钟收到呼唤的次数，依题意~(4)XP，则（1）844{8}0.02988!PXe（2）3444044{3}110.43350.5665!!kkkkPXeekk10.某航线的航班，常常有旅客预定票后又临时取消，每班平均为4人．若预定票而又取消的人数服从以平均人数为参数的泊松分布，求:(1)正好有4人取消的概率;(2)不超过3人(含3人)取消的概率;(3)超过6人(含6人)取消的概率;(4)无人取消的概率.解设X为取消的人数，依题意~(4)XP，则（1）444{4}0.19544!PXe.（2）3404{3}0.4335!kkPXek.（3）5446044{6}110.78520.2148!!kkkkPXeekk.（4）044{0}0.01830!PXe.11.设连续型随机变量X的密度函数为其他010)(xAxxf求（1）常数A；（2）{00.5}PX；(3){0.252}PX.解：（1）112300()(10)1222AAAfxdxAxdxx2A解得：密度函数为：其它0102)(xxxf（2）0.50.50.52000{00.5}()20.25PXfxdxxdxx.（3）{0.252}{0.251}{12}PXPXPX120.251200.9375xdxdx.12.设随机变量X的分布函数为000)1(1)(xxexxFx求相应的密度函数，并求{1}PX．解：因为()()Fxfx，知随机变量X的密度函数为[1(1)],000,00(0)xxxexxexxfxx所以11{1}(1)1(11)12PXFee.13.设随机变量X具有概率密度0,00,)(3xxKexfx（1）试确定常数K；（2）求(0.1)PX；（3）求()Fx.解：（1）由于1)(dxxf，即dxxf)(=133)3(31033030KeKxdKedxKexxx得3K.于是X的概率密度0,00,3)(3xxexfx；（2）(0.1)PX1.0)(dxxf=7408.0331.0dxex;（3）由定义()Fx=xdttf)(。当0x时，()Fx=0；当0x时，()Fx=xdttf)(=xxxedxe33013所以0,00,1)(3xxexFx.14.若随机变量在(1,6)上服从均匀分布，试求关于t的方程210tt有实根的概率是多少？解：方程210tt有实根的条件是24022或，由于在(1,6)上服从均匀分布，其密度函数为1,16,()50,xfx其它.所以有实根的概率为621{2}{2}0.85PPdx.15.某类日光灯管的使用寿命X(单位:小时)服从参数为12000的指数分布.问任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率．解：使用寿命X的密度函数为：1120002000,0,()0,0xexfxx.所以111200020000.510001000{1000}2000|0.607xxPxedxee.16.设2~(3,2)XN，（1）求{25},{410},{||2},{3}PXPXPXPX；（2）试确定c使得{}{}PXcPXc；（3）设d满足{}0.9PXd，问d至多为多少？解：（1）5323{25}()()(1)(0.5)0.532822PX,10343{410}()()(3.5)(3.5)0.999622PX,{||2}{2}{2}(2.5)1(0.5)0.6977PXPXPX,{3}1{3}1(0)0.5PXPx.（2）由题意可知{}{}0.5PXcPXc，即3()0.52c，查表可知3c.（3）因为33{}0.9{}0.922XdPXdP，可知3()0.12X，得331()0.1()0.922XX，查表可知(1.29)0.90150.9，所以0.42d.17.标准普尔中公司股票的价格（单位：美元）服从30,8的正态分布，问（1）某公司股票价格至少为40美元的概率是多少？（2）某公司股票价格不超过26美元的概率是多少？（3）若公司股票价格排名位于全部股票的前10%，则公司股票至少应达到多少？解：设股票价格为X，由题意可知2~(30,8)XN，（1）4030{40}1{40}1()1(1.25)0.10568PXPX.（2）2630{26}()(0.5)0.30858PX.（3）可设股票价格为k美元，由题意知{}0.9PXk，即30()0.98k，查表可知(1.29)0.90150.9，所以40.32k18.设离散型随机变量X的分布列为X21012P0.10.20.30.30.1求（1）31YX的分布列；（2）22ZX的分布列．解：（1）Y52147P0.10.20.30.30.1（2）Z028P0.30.50.219.设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，求随机变量3YX的概率密度函数．解：由题意可知X的概率密度为1,02,()20,xfx其它.函数3()ygxx，其值域为[0,8]，单调且有唯一反函数3()xhyy，[0,8]y；且231()3xhyy，得Y的概率密度函数为2323111,08,,08,2()()360,0,Yxyyfyfyy其它其它..20.设随机变量~(2)XE，求XYe的概率密度．解：由题意可知X的概率密度为202,()00,xxefxx函数()xygxe，其值域为[1,)，单调且有唯一反函数()lnxhyy，[1,)y；且1()xhyy．得Y的概率密度函数为2ln131,2,2,0,()()0,0,yyeyyyfyfy其它其它..21.设~(0,1)XN，求（1）221YX的概率密度；（2）求||ZX的概率密度．解：（1）先求Y的分布函数()YFy．注意到221YX的值域是1Y，因此，当1y时，(){}{}0YFyPYyP．当1y时，211(){}{21}{}22YyyFyPYyPXyPX2(1)/2(1)/22(1)/2(1)/21()2xyyXyyfxdxedx再用求导的方法求出Y的密度函数(1)41,1,()()2(1)0,yYYeyfyFyy其它.（2）先求Z的