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主干知识自主排查核心考点互动探究高考·导航目录ONTENTSC课时作业第十章算法初步、统计、统计案例第二节随机抽样高考·导航1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样．主干知识自主排查1．简单随机抽样(1)抽取方式：逐个；(2)每个个体被抽到的概率；(3)常用方法：和.不放回抽取相等抽签法随机数法2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成的层，然后按照一定的，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围当总体是由的几个部分组成时，往往选用分层抽样．互不交叉比例差异明显3．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体；(2)确定，对编号进行当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn；(3)在第1段用确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号，再加k得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．编号分段间隔k分段简单随机抽样(l＋k)(l＋2k)[小题诊断]1．(2018·唐山模拟)用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体M被抽到的概率为()A.1100B.199C.120D．150解析：一个总体含有100个个体，每个个体被抽到的概率为1100，用简单随机抽样方法从该总体中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为1100×5＝120.答案：C2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是()A．10B．11C．12D．16解析：从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，选D.答案：D3．某客运公司为了了解客车的耗油情况，将200辆客车依次编号为1,2，…，200，现采用系统抽样的方法按1∶10的比例抽取一个样本进行检测，则其中抽取的4辆客车的编号可能是()A．3,23,63,102B．31,61,87,127C．103,133,153,193D．57,68,98,108解析：用系统抽样抽出的客车的编号从小到大成等差数列，对照四个选项，只需选项中的四个数是公差为10的等差数列中的部分项，故选C.答案：C4．从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2p3B．p2＝p3p1C．p1＝p3p2D．p1＝p2＝p3解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3，故选D.答案：D5．(2018·邯郸模拟)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝()A．660B．720C．780D．800解析：由已知条件，抽样比为13780＝160，从而35600＋780＋n＝160，解得n＝720.答案：B1．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当Nn不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．2．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即样本容量n总体个数N.[小题纠偏]1．从2017名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2017名学生中剔除17名学生，剩下的2000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为502017D．都相等，且为140解析：从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于MN.答案：C2．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为()A．27B．30C．33D．36解析：因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，所以应该抽取男生人数为50×33＋2＝30.B核心考点互动探究题组练通1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是()A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样B．这次抽样一定没有采用系统抽样C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率解析：利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误，故选A.答案：A2．(2018·长春模拟)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买力的某项指标，②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是()A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样解析：因为社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法，从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，因为调查的个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法，故选B.答案：B3．(2018·上饶模拟)已知总体由编号为00,01,02，…，48,49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第8个个体的编号为()附：第6行至第9行的随机数表：16227794394954435482173793237887352096438426349164844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A．17B．20C．23D．37解析：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，符合条件的依次为39,49,43,17,37,23,35,20，故第8个数为20.答案：B思维升华一个抽样试验用抽签法的2个注意事项一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．题组练通1．(2018·怀化模拟)某校高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为()A．27B．26C．25D．24解析：根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就是抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为11－3＝8，所以在19与35之间还有27，故选A.答案：A根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.C2．(2018·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为()A．480B．481C．482D．4833．(2018·广州模拟)将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17,9解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令3003＋12(k－1)≤495，得1034k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.答案：B方法技巧解决系统抽样问题的2个关键步骤(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．[锁定考向]分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误．常见的命题角度有：(1)与频率分布相结合问题．(2)与概率相结合问题．角度一与频率分布相结合问题1．从某学校所有高一学生某次计算机笔试成绩中选出40名学生的成绩(单位：分)，成绩分组区间为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]，由此绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩低于90分为不及格，成绩不低于90分为及格．(1)求频率分布直方图中m的值；(2)求这40名学生中不及格的学生人数；(3)从不及格的学生中按成绩用分层抽样的方法任选5人，再从这5人中任选2人，求这2人的成绩均在[70,90)内的概率．解析：(1)由题中频率分布直方图知，组距为20，由m＋32m＋72m＋3m＋m×20＝1，解得m＝0.005.(2)这40名学生中不及格的学生人数为52×0.005×20×40＝10.(3)按成绩分层抽样，则从成绩在[50,70)，[70,90)的学生中应选取的人数分别为25×5＝2，35×5＝3，记成绩在[50,70)内的2人分别为A1，A2，成绩在[70,90)内的3人分别为B1，B2，B3，“2人的成绩均在[70,90)内”为事件A，则从这5人中任选2人的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．其中这2人的成绩都在[70,90)内的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共3个．故所求概率P(A)＝310.角度二与概率相结合问题2．某社区为丰富居民节日活动，组织了“迎新春”象棋大赛，已知报名的选手情况统计如下表：组别男女总计中年组ab91老年组16cd已知中年组女性选手人数比老年组女性选手人数多2人．若对中年组和老年组分别利用分层抽样的方法抽取部分报名者参加比赛，已知老年组抽取了5人，其中女性3人，中年组抽取了7人．(1)求表格中的数据a，b，c，d；(2)若从选出的中年组的选手中随机抽取2名进行比赛，求至少有1名女性选手的概率．解析：(1)依题意，老年组中，女性抽取了3人，则男性抽取了2人，∴抽样比为216＝18，∴c＝3÷18＝24，∴b＝c＋2＝26.∴a＝91－26＝65，d＝16＋24＝40.(2)由已知，中年组共抽取了7人，∴抽样比为791＝113，∴中年组抽取男性65×113＝5人，女性7－5＝2人，记5名男性分别为A，B，C，D，E,2名女性分别为e，f，则从中随机选取2名，共有21种不同的结果，分别为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，e)，(A，f)，(B，C)，(B，D)，(B