证明微积分基本公式

定义（定积分）设函数f(x)是定义在闭区间[a，b]上的连续函数，用n+1个分点a=x0x1x2…xn–1xn=b把闭区间[a，b]划分成n个小区间[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xi–1，xi]，…，[xn–1，xn]记各小区间[xi–1，xi]（i=1，2，…，n）的长度为Δxi=xi-xi–1，在各小区间[xi–1，xi]内任取一点ξi，取函数值f(ξi)与小区间长度Δxi的乘积f(ξi)Δxi，作和式nniiniiixfxfxfxfxfΔ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111称为函数f(x)在区间[a，b]上的积分和。记各小区间的最大长度为d=max{Δxi}，如果对于区间[a，b]任意的划分和点ξi在[xi–1，xi]上的任意取法，当d→0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，简称积分，记为niiidbaxxfxxf10Δ)(limd)(其中为积分号，[a，b]称为积分区间，f(x)称为被积函数，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限。如果函数f(x)在区间[a，b]上的积分存在，则称f(x)在[a，b]上可积。上述定义中的积分限要求ab，实际上这个限制可以解除，补充两条规定：（1）当a=b时，规定0d)(aaxxf；（2）当ab时，规定abbaxxfxxfd)(d)(。可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。定理1（可积的必要条件）如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的可积，则f(x)在[a，b]上有界。定理2（可积的充分条件）1．如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的连续，则f(x)在[a，b]上可积。2．如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的单调，则f(x)在[a，b]上可积。3．如果在闭区间[a，b]内除去有限个不连续点外，函数f(x)有界，则f(x)在[a，b]上可积。引理（微分中值定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]内连续，在开区间(a，b)内可导，则至少存在一点ξ(a，b)，成立等式f(b)−f(a)=f'(ξ)(b−a)以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数f(x)在闭区间[a，b]内连续，则可以证明f(x)在[a，b]上可积，于是存在新的函数F(x)，成立微分关系F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式)()()(d)(aFbFxFxxfbaba这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。证明：因为f(x)在[a，b]上可积，f(x)的原函数F(x)存在，即F'(x)=f(x)，又因为可导函数必定连续，所以F(x)在[a，b]内连续，因此F(x)在[a，b]内满足微分中值定理的条件。对于定义中区间[a，b]任意的划分，在各小区间[xi–1，xi]（i=1，2，…，n）上，函数F(x)也满足微分中值定理的条件，于是必定存在ξi[xi–1，xi]，成立等式F(xi)-F(xi–1)=F'(ξi)(xi−xi–1)即F(xi)−F(xi−1)=f(ξi)Δxi对于每一个小区间[xi–1，xi]（i=1，2，…，n），以上等式都成立，将各个小区间内的上述等式左右两边分别相加，可以得到F(x1)−F(x0)+F(x2)−F(x1)+…+F(xi)−F(xi–1)+…+F(xn–1)−F(xn–2)+F(xn)−F(xn–1)=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn–1)Δxn–1+f(ξn)Δxn即iniinxfxFxFΔ)()()(10令d=max{Δxi}→0，以上等式两边分别取极限iniidndxfxFxFΔ)(lim)]()([lim1000等式的左边F(xn)−F(x0)=F(b)−F(a)是常数，极限显然存在)()()]()([lim00aFbFxFxFnd等式的右边正是积分和的极限，因为f(x)在[a，b]上可积，所以此极限存在，于是根据定积分的定义，f(x)在[a，b]上的定积分存在，即baniiidxxfxxfd)(Δ)(lim10于是就得到)()(d)(aFbFxxfba这就是微积分基本公式，表明了定积分与原函数之间的联系。习惯上将F(b)−F(a)简写成baxF)(，于是微积分基本公式可以写成)()()(d)(aFbFxFxxfbaba此外，利用f(x)的不定积分（C为任意常数）CxFxxf)(d)(微积分基本公式还可以表示为babaxxfxxfd)(d)(此式表明了定积分与不定积分之间的联系。