贝叶斯推断及其互联网应用

贝叶斯推断及其互联网应用（一）作者：阮一峰日期：2011年8月25日一年前的这个时候，我正在翻译PaulGraham的《黑客与画家》。那本书大部分谈的是技术哲学，但是第八章却写了一个非常具体的技术问题----如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件（英文版）？说实话，我没完全看懂那一章。那时，交稿截止日期已经过了，没时间留给我去啃概率论教科书了。我只好硬着头皮，按照字面意思把它译了出来。虽然交稿了，译文质量也还可以，但是心里很不舒服，下决心一定要搞懂它。一年过去了，我读了一些概率论文献，逐渐发现贝叶斯推断并没有想象的那么难。相反的，它的原理部分实际上很容易理解，甚至不需要用到高等数学。下面就是我的学习笔记。需要声明的是，我并不是这方面的专家，数学其实是我的弱项。所以，欢迎大家提出宝贵意见，让我们共同学习和提高。=====================================贝叶斯推断及其互联网应用作者：阮一峰一、什么是贝叶斯推断贝叶斯推断（Bayesianinference）是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。它是贝叶斯定理（Bayes'theorem）的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据推断结果不断修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有等到计算机诞生以后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显现。二、贝叶斯定理要理解贝叶斯推断，就必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算条件概率的公式。所谓条件概率（Conditionalprobability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。因此，同理可得，所以，即这就是条件概率的计算公式。三、全概率公式由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式。假定样本空间S，是两个事件A与A'的和。上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。即在上一节的推导当中，我们已知所以，这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A'构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B的条件概率之和。将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：四、贝叶斯推断的含义对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：我们把P(A)称为先验概率（Priorprobability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为后验概率（Posteriorprobability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为可能性函数（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。所以，条件概率可以理解成下面的式子：这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个先验概率，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了先验概率，由此得到更接近事实的后验概率。在这里，如果可能性函数P(B|A)/P(B)1，意味着先验概率被增强，事件A的发生的可能性变大；如果可能性函数=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果可能性函数1，意味着先验概率被削弱，事件A的可能性变小。五、【例子】水果糖问题为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子。第一个例子。两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做先验概率，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做后验概率，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。根据条件概率公式，得到已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，所以，将数字代入原方程，得到这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。六、【例子】假阳性问题第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系紧密。已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是先验概率，即没有做试验之前，我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这就是后验概率，即做了试验以后，对发病率的估计。根据条件概率公式，用全概率公式改写分母，将数字代入，我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的假阳性，即阳性结果完全不足以说明病人得病。为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？答案是与它的误报率太高有关。（【习题】如果误报率从5%降为1%，请问病人得病的概率会变成多少？）有兴趣的朋友，还可以算一下假阴性问题，即检验结果为阴性，但是病人确实得病的概率有多大。然后问自己，假阳性和假阴性，哪一个才是医学检验的主要风险？===================================关于贝叶斯推断的原理部分，今天就讲到这里。下一次，将介绍如何使用贝叶斯推断过滤垃作者：阮一峰七、什么是贝叶斯过滤器？垃圾邮件是一种令人头痛的顽症，困扰着所有的互联网用户。正确识别垃圾邮件的技术难度非常大。传统的垃圾邮件过滤方法，主要有关键词法和校验码法等。前者的过滤依据是特定的词语；后者则是计算邮件文本的校验码，再与已知的垃圾邮件进行对比。它们的识别效果都不理想，而且很容易规避。2002年，PaulGraham提出使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件。他说，这样做的效果，好得不可思议。1000封垃圾邮件可以过滤掉995封，且没有一个误判。另外，这种过滤器还具有自我学习的功能，会根据新收到的邮件，不断调整。收到的垃圾邮件越多，它的准确率就越高。八、建立历史资料库贝叶斯过滤器是一种统计学过滤器，建立在已有的统计结果之上。所以，我们必须预先提供两组已经识别好的邮件，一组是正常邮件，另一组是垃圾邮件。我们用这两组邮件，对过滤器进行训练。这两组邮件的规模越大，训练效果就越好。PaulGraham使用的邮件规模，是正常邮件和垃圾邮件各4000封。训练过程很简单。首先，解析所有邮件，提取每一个词。然后，计算每个词语在正常邮件和垃圾邮件中的出现频率。比如，我们假定sex这个词，在4000封垃圾邮件中，有200封包含这个词，那么它的出现频率就是5%；而在4000封正常邮件中，只有2封包含这个词，那么出现频率就是0.05%。（【注释】如果某个词只出现在垃圾邮件中，PaulGraham就假定，它在正常邮件的出现频率是1%，反之亦然。随着邮件数量的增加，计算结果会自动调整。）有了这个初步的统计结果，过滤器就可以投入使用了。九、贝叶斯过滤器的使用过程现在，我们收到了一封新邮件。在未经统计分析之前，我们假定它是垃圾邮件的概率为50%。（【注释】有研究表明，用户收到的电子邮件中，80%是垃圾邮件。但是，这里仍然假定垃圾邮件的先验概率为50%。）我们用S表示垃圾邮件（spam），H表示正常邮件（healthy）。因此，P(S)和P(H)的先验概率，都是50%。然后，对这封邮件进行解析，发现其中包含了sex这个词，请问这封邮件属于垃圾邮件的概率有多高？我们用W表示sex这个词，那么问题就变成了如何计算P(S|W)的值，即在某个词语（W）已经存在的条件下，垃圾邮件（S）的概率有多大。根据条件概率公式，马上可以写出公式中，P(W|S)和P(W|H)的含义是，这个词语在垃圾邮件和正常邮件中，分别出现的概率。这两个值可以从历史资料库中得到，对sex这个词来说，上文假定它们分别等于5%和0.05%。另外，P(S)和P(H)的值，前面说过都等于50%。所以，马上可以计算P(S|W)的值：因此，这封新邮件是垃圾邮件的概率等于99%。这说明，sex这个词的推断能力很强，将50%的先验概率一下子提高到了99%的后验概率。十、联合概率的计算做完上面一步，请问我们能否得出结论，这封新邮件就是垃圾邮件？回答是不能。因为一封邮件包含很多词语，一些词语（比如sex）说这是垃圾邮件，另一些说这不是。你怎么知道以哪个词为准？PaulGraham的做法是，选出这封信中P(S|W)最高的15个词，计算它们的联合概率。（【注释】如果有的词是第一次出现，无法计算P(S|W)，PaulGraham就假定这个值等于0.4。因为垃圾邮件用的往往都是某些固定的词语，所以如果你从来没见过某个词，它多半是一个正常的词。）所谓联合概率，就是指在多个事件发生的情况下，另一个事件发生概率有多大。比如，已知W1和W2是两个不同的词语，它们都出现在某封电子邮件之中，那么这封邮件是垃圾邮件的概率，就是联合概率。在已知W1和W2的情况下，无非就是两种结果：垃圾邮件（事件E1）或正常邮件（事件E2）。其中，W1、W2和垃圾邮件的概率分别如下：如果假定所有事件都是独立事件（【注释】严格地说，这个假定不成立，但是这里可以忽略），那么就可以计算P(E1)和P(E2)：又由于在W1和W2已经发生的情况下，垃圾邮件的概率等于下面的式子：即将P(S)等于0.5代入，得到将P(S|W1)记为P1，P(S|W2)记为P2，公式就变成这就是联合概率的计算公式。如果你不是很理解，点击这里查看更多的解释。十一、最终的计算公式将上面的公式扩展到15个词的情况，就得到了最终的概率计算公式：一封邮件是不是垃圾邮件，就用这个式子进行计算。这时我们还需要一个用于比较的门槛值。PaulGraham的门槛值是0.9，概率大于0.9，表示15个词联合认定，这封邮件有90%以上的可能属于垃圾邮件；概率小于0.9，就表示是正常邮件。有了这个公式以后，一封正常的信件即使出现sex这个词，也不会被认定为垃圾邮件了。（完）