离散型随机变量的均值与方差(详解教师版)

1离散型随机变量的均值与方差一、考点、热点回顾【学习目标】1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2x…ix…P1p2p…ip…则称E11px22px…nnpx…为的均值或数学期望，简称期望．要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令1p2p…np，则有1p2p…npn1，E1(x2x…nxn1)，所以的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．2．性质：①()EEE；②若ba(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有baEbaE)(；baEbaE)(的推导过程如下：：的分布列为1x2x…ix…bax1bax2…iaxb…P1P2P…iP…2于是E11)(pbax22)(pbax…()iiaxbp…＝11(pxa22px…iixp…)1(pb2p…ip…)＝baE∴baEbaE)(。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x，2x，…，nx，它们的平均值为x，那么各数据与x的差的平方的平均数[12nS21)(xx＋22)(xx＋…＋])(2xxn叫做这组数据的方差。2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2x…ix…P1p2p…ip…则称D＝121)(pEx＋222)(pEx＋…＋2()nixEp＋…称为随机变量的方差，式中的E是随机变量的期望．D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作．要点诠释：⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系：22()()DEE4.方差的性质：若ba(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，2()DDabaD；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为p的二点分布，则3期望Ep方差(1).Dpp证明：∵(0)Pq,(1)Pp,01p,1pq∴01Eqpp22(0)(1)(1).Dpqpppp2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为,np的二项分布，即~(),BnP，则期望EnP方差(1-)Dnpp期望公式证明：∵knkknknkknqpCppCkP)1()(，∴001112220012......nnnkknknnnnnnnECpqCpqCpqkCpqnCpq，又∵11)]!1()1[()!1()!1()!(!!knknnCknknnknknkkC，∴E(np0011nnCpq＋2111nnqpC＋…＋)1()1(111knkknqpC＋…＋)0111qpCnnnnpqpnpn1)(．3、几何分布：独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且1()(1)kPkpp，0,1,2,3,,,kn，称离散型随机变量服从几何分布，记作：~()()PkkPg，。若离散型随机变量服从几何分布，且~()()PkkPg，，则期望1.Ep方差21-pDp4要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为,,NMn的超几何分布，则期望()nMEN要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：①理解的意义，写出可能取的全部值；②求取各个值的概率，写出分布列；1x2x…ix…P1p2p…ip…③根据分布列，由期望、方差的定义求出E、D、：1122nnExpxpxp2221122nnDxEpxEpxEpD.注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可．2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用①离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；②随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。③对于两个随机变量1和2，当需要了解他们的平均水平时，可比较1E和2E的大小。④1E和2E相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较1D和2D，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关．二、典型例题5类型一、离散型随机变量的期望例1．已知随机变量X的分布列为：X－2－1012P141315m120试求：（1）E（X）；（2）若y=2X－3，求E（Y）．【思路点拨】分布列中含有字母m，应先根据分布列的性质，求出m的值，再利用均值的定义求解；对于（2），可直接套用公式，也可以先写出Y的分布列，再求E（Y）．【解析】（1）由随机变量分布列的性质，得1111143520m，16m，∴1111117()(2)(1)01243362030EX。（2）解法一：由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得1762()(23)2()3233015EYEXEX．解法二：由于Y=2X－3，所以y的分布如下：X－7－5－3－11P14131516120∴1111162()(7)(5)(3)(1)143562015EY。【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，对于aX+b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aX+b的分布列，再用定义求解．举一反三：【变式1】已知某射手射击所得环数的分布列如下：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求E.【答案】4(4)5(5)6(6)7(7)8(8)9(9)10(10)EPPPPPPP40.0250.0460.0670.0980.2890.29100.228.32。【变式2】已知随机变量ξ的分布列为ξ－2－101236P112mn11216112其中m，n∈[0,1)，且E(ξ)＝16，则m，n的值分别为________．【答案】13，14由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝712，由E(ξ)＝16，得12－m＝16，∴m＝13，n＝14.【变式3】随机变量ξ的分布列为：ξ024P0.40.30.3则E(5ξ＋4)等于()A．13B．11C．2.2D．2.3【答案】A由已知得E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8，∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13.【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且()Pkakb（1,2,3,4k），3E，则ab；【答案】0.1；由分布列的概率和为1，有()(2)(3)(4)1abababab，又3E，即1()2(2)3(3)4(4)3abababab，解得0.1a，0b，故0.1ab。例2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数。求：①的概率分布列；②的数学期望。【思路点拨】本题求取各个值的概率，其类型显然是古典概型。7【解析】①依题意的取值为0、1、2、3、4=0时，取得2黑球，∴24291(0)6CPC，=1时，取得1黑球1白球，∴(1)P31291314CCC，=2时，取2白球或1红球1黑球，∴(2)P21132422991136CCCCC，=3时，取1白球1红球，∴(3)P61291213CCC，=4时，取2红球，∴(4)P3612922CC，∴分布列为01234p6131361161361②期望111111140123463366369E.【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表．举一反三：【变式1】随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．【答案】抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ123456P616161616161所以E1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．【变式2】甲、乙、丙、丁独立地破译一个密码，其中甲的成功率是12，乙、丙、丁的成功率都是13．（1）若破译密码成功的人数为X，求X的概率分布；（2）求破译密码成功人数的数学期望．【答案】（1）破译密码成功的人数X的可能取值为0，1，2，3，4．83128(0)2354PX，32131212120(1)2333254PXC，22123311212118(2)23333254PXCC，2323112117(3)2333254PXC，3111(4)2354PX，则X的概率分布表为X01234P85420541854754154（2）由（1）知820187181()012341.5545454545454EX，即破译密码成功的人数的数学期望为1.5．【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，已知一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和．求抽奖者获利的数学期望．【答案】抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中ξ取每一个值时所代表的随机事件的概率是容易获得的，本题的目标是求参加抽奖的人获利的数学期望，由ξ与的关系为=ξ－5，利用公式E（）=E（ξ）－5可获解答．设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元，1个5元），ξ=10（抽到2个5元）．所以，由题意得2821028(2)45CPC，118221016(6)45CCPC，222101(10)45CPC，∴2816118()26104545455E．又设为抽奖者获利的可能值，则=ξ－5，所以抽奖者获利的期望为187()()551.455EE．例3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，（1）求X的概率分布；（2）求X和Y的数学期望．9【思路点